<h1><center> 등차수열(3) </center></h1>

###### tags: `💻 TIL`,`수학`
###### date: `2023-12-24T17:21:33.284Z`

> [color=#724cd1][name=데릭]
> [나무위키](https://namu.wiki/w/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4)

# 개요

> 등차수열에 대해서 더 깊이 알아보자.

## 극한

등차수열 a_n = a + (n - 1)d에 대하여 공차가 양수이면 등차수열의 항은 점점 커지고, 음수이면 점점 작아지며, 0이면 일정하므로 아래와 같은 식이 나온다.


## 등차수열의 합

등차수열의 합은 첫 항과 마지막 항을 더한 뒤 뒤 항의 개수를 곱하고 2로 나눈 값이다. 그 이유는 S_n을 구할 때 첫째 항부터 n번째 항까지 차례대로 더하든지 역순으로 더하든지 상관이 없다. a_n = l이라면 l = a + (n - 1)d이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.



S_n에 대하여 정리하면,


각각 첫 항과 마지막 항을 뜻하는 a와 l은 n에 관한 일차식이 되므로 S_n은 이차식이다. l = a + (n - 1)를 사용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.


한편, 수열의 합 공식으로 유도하면 다음과 같다.


## 공식 (합 -> 일반항)

여기에서 등차수열의 합에서 등차수열의 일반항을 구하는 유용한 공식이 나온다고 한다.


머지..?

쉽게 말해, S_n을 미분한 뒤 S_n의 최고차항의 계수를 빼면 a_n이라는 것이다. 주의할 점은 S_n이 첫째 항부터 n번째 항까지 더한 값이며, 등차수열의 합이라는 것이다. S_n이 첫째 항부터 더한 값이 맞는지 확인해야 하며, 등차수열이 아닌 수열에는 이 공식이 적용되지 않는다. 또한, 엄밀히 말해 이는 미분이 아니다.(..?) 미분이란 본디 접선의 기울기를 구하는 계산인데, 이 공식은 그것과 아무 상관이 없기 때문이다. 다시 말해 우연히 미분과 계산이 비슷해진 것 일 뿐, 미분의 메커니즘이 수열의 합과 결부되어 나타나는 공식은 결코 아니라고 한다.

## 함수로 해석하기?

등차수열의 합 역시 함수로 생각할 수 있는데,


이 공식에 대하여 좌표평면에 (n, S_n)을 나타내면 다음과 같다.


각 점의 n좌표는 몇 번째 항까지의 합인지를, S_n좌표는 합의 값을 나타낸다. 등차수열의 합은 이차식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 이차함수의 그래프 위에 있다. 이렇게 보면, 등차수열의 합은 자연수만을 정의역으로 하는 상수항이 0인 이차함수이다.

## 제2항부터 등차수열인 경우

앞서 밝혔듯이 등차수열 a_n = a + (n - 1)d (ad != 0)의 합은 다음과 같다.


이런 공식이기 때문에, S_n은 상수항이 없는 이차식이다. 그렇다면 S_n이 상수항이 있는 이차식이면 어떨까?

- S_n = an^2 + bn이면,
- a_n은 등차수열이다.(n >= 1)
- S_n = an^2 + bn + c (c != 0)이면
- a_n은 등차수열이다.(n >= 2)
- a_1 = S_1

전자와 후자를 비교해 보자. a_n = S_n - S_n-1이므로 뒤에 +c가 붙든 안 붙든 a_n = 2an + b - a로 똑같은 값이 된다. 그러나 S_0이란 정의되지 않기 떄문에 a_n = S_n - S_n-1로 a_1을 구할 수가 없고, a_1 = S_1임을 이용해야 한다. 따라서 a_1의 값은 S_1과 마찬가지로 c만큼 차이가 나며, a_2부터는 모든 항이 같다.

다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자.


a_n의 다른 모든 항은 같고, a_1만 1의 차이가 나므로 S_n 역시 계속 1의 차이만 나게 된다.

## 등차수열의 합의 최대, 최소

앞서 밝혔듯이 등차수열의 합 S_n은 이차식이므로, 최댓값 또는 최솟값이 존재한다. 일반적인 이차함수라면 무조건 최댓값 혹은 최솟값이 존재하지만, 등차수열의 합 S_n은 자연수만 정의역으로 하는 함수로 간주해야 하기에 성격이 다른 점만 주의하면 된다.

**S_n이 감소하다가 증가하는 경우**
- k가 커지면 a_k의 값이 음수이다가 양수가 된다.
- 공차가 양수이다.
- 최솟값이 존재한다.
- 최댓값은 존재하지 않음.

**S_n이 증가하다가 감소하는 경우**
- k가 커지면 a_k의 값이 양수이다가 음수가 된다.
- 공차가 음수이다.
- 최댓값이 존재한다.
- 최솟값은 존재하지 않음

**S_n이 계속 증가하는 경우**
- 공차가 양수이다.
- 최솟값은 S_1이다.
- 최댓값은 존재하지 않음

**S_n이 계속 감소하는 경우**
- 공차가 음수이다.
- 최댓값은 S_1이다.
- 최솟값은 존재하지 않음

**S_n이 일정하게 유지되는 경우**
- 모든 항이 0, 공차도 0이다.
- 고로 최솟값과 최댓값 모두 0이다.

## 기타

- a_n이 등차수열이면 0이 아닌 상수 k에 대하여 k^an은 등비수열이다.
- 좌표평면에서 이차함수의 그래프 위의 점들을 이은 다각형에 대하여, 꼭짓점의 개수와 좌우 양끝 점의 x좌표가 고정되어 있을 때 다각형의 넓이가 최대가 되려면 다각형의 모든 꼭짓점의 x좌표가 등차수열을 이루어야 한다. 특히, 삼각형에 대해서는 양끝 점이 고정되어 있을 때 삼각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 나머지 한 점의 x좌표는 양끝 점의 x좌표의 평균이다.