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# System prepended metadata

title: 등차수열(1)
tags: ["\U0001F4BB TIL", 수학]

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<h1><center> 등차수열(1) </center></h1>

###### tags: `💻 TIL`,`수학`
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> [나무위키](https://namu.wiki/w/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4)
> [수열의 귀납적 정의](https://namu.wiki/w/%EC%88%98%EC%97%B4%EC%9D%98%20%EA%B7%80%EB%82%A9%EC%A0%81%20%EC%A0%95%EC%9D%98#s-2.1.1)

# 개요

> 오늘은 이산수학(Discrete Mathematics)의 개념들을 정리해보자.

**등차수열**
1, 3, 5, 7, 9, ...처럼 연속한 두 항의 차가 일정한 수열을 등차수열이라고 한다. 

**공차(Common Disfference)**
연속한 두 항에서, 뒤 항에서 앞 항을 뺀 값을 공차라고 한다. 

**NOTE**

> 일반적으로 등차수열의 첫째 항을 a, 공차를 d로 표기한다. 또한, 첫째 항은 초항이라고도 하며, 문자 d는 difference의 머리글자라고 한다. 

등차수열은 연속한 두 항의 차가 일정하므로, 계차수열의 일반항이 상수식(공차)인 수열이라 한다.

## 일반항

![스크린샷 2023-12-21 21.17.27](https://hackmd.io/_uploads/HJz1psbwT.png)

위와 같은 이미지의 수열이 공차가 d인 등차 수열이면 임의의 자연수 k에 대하여 아래의 점화식이 성립하게 된다. 

![스크린샷 2023-12-21 21.18.11](https://hackmd.io/_uploads/B1pbaiWv6.png)

이에 따라 등차수열의 일반항은 아래와 같은데, 도출 과정은 수열의 귀납적 정의 문서를 참고하자.

![스크린샷 2023-12-21 21.18.38](https://hackmd.io/_uploads/BJd7aiWPT.png)

꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공차가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등차수열의 일반항을 정할 수 있다고 한다. 

## 수열의 귀납법 정의 

n번째 항을 그 이전 항들의 관계식으로서 귀납적(inductive)으로 수열로써 정의하는 것이다. 수열을 자기 자신의 항들로 정의한다고 해서 재귀적 정의라고도 한다. 이렇게 나타낸 식을 점화식이라고 한다. 

수열의 귀납적 정의에서는 한 수열의 여러 항이 동시에 등장하는데, 수열의 모든 항을 유일하게 결정하려면 처음 몇 개 항의 값을 밝혀주어야 한다.

예제) a_n을 a_n = a_n-1 + 2로 정의하고 싶다면, a_1에 값을 줘야 모든 항의 값을 결정할 수 있다. 반면, a_n = a_n-1 + a_n-2의 경우에는 a_1과 a_2에 값을 줘야 한다.

점화식으로부터 일반항을 구한 ㄴ것은 경우에 따라서 매우 어렵다. 쉽게 말해 미적분학의 상미분방정식 위치에 있다고 보면 되지만, 난이도는 미분방정식보다 더 어렵다. 

## 등차중항

a, b, c가 등차수열의 연속한 세 항일때, b를 a와 c의 등차중항이라고 한다. 
![스크린샷 2023-12-21 21.20.55](https://hackmd.io/_uploads/S1W3TjbD6.png)

곧, 등차수열의 연속한 세 항에서, 등차중항은 나머지 두 항의 산술평균이다. 예를 들어, 등차수열 a_n에 대하여 a_6, a_7, a_8의 등차중항은 a_7 = (a_6 + a_8) / 2이다. 
