# 平面向量的內積

物體在平移，旋轉，鏡射的作用之後，物體本身的形狀並沒有任何的改變，邊長不變，對應的角度也不會變。透過這個特性，想研究物體，我們便將物體放置於座標系之中，其物體的幾何特性並不會因為座標在上述作用之後就有所改變。
舉例來說，我們將三角形$ABC$旋轉，並且平移至新的座標$A'B'C'$。雖然三角形的座標不同，但是這兩個一樣還是全等三角形
因此，為了方便我們研究，我們便將物體放置在一個方便我們研究的座標系中。
例如，將某個頂點放置在原點。或者是將三角形的外心放置在原點。而「位移向量」的概念正是將幾何物體的某個頂點放在原點。
如下圖所示，此時的夾角$\theta \ (0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ})$，稱為向量$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$的夾角。當$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$方向相同時，夾角為$0^{\circ}$;方向相反時，夾角為$180^\circ$。


假設給定平面中的兩點$P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})$，由$P$至$Q$的位移向量定義為

$$\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})$$

此位移向量的長度定義為$\overline{PQ}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。請注意，由Q至P的位移向量為$\overrightarrow{QP}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})$，如下圖所示。

我們發現這兩個向量長度相等但是方向相反。這不僅僅是告訴我們，位移向量的概念不僅包含了長度，也包含了方向性。位移向量$\overrightarrow{PQ}$的實際意義是說，我們怎麼去描述從$P$沿著$\overrightarrow{PQ}$的方向移動至$Q$，$\overrightarrow{PQ}$不只描述了物體的移動方向，也描述了物體行走的距離。觀察$\overrightarrow{PQ}與\overrightarrow{QP}$向量$x$座標與$y$座標，我們發現一個有趣的事實

$$x_{2}-x_{1}=-(x_{1}-x_{2}),\quad y_{2}-y_{1}=-(y_{1}-y_{2})$$

也就是說其x座標與y座標分別差一個負號。

假設$\overrightarrow{u}=(x,y)$是一個位移向量，且$a$為一個實數，那麼我們定義

$$a\cdot\overrightarrow{u}=(ax,ay)$$

稱為向量的係數積。

透過向量的係數積定義就可以發現$\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{QP}$。因此，如果給了一個向量$\overrightarrow{u}，-\overrightarrow{u}$的幾何意義便是與原向量同長度但是方向相差$180^{\circ}$的向量。

如果給定平面中一個三角形與其三個頂點$P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),R(x_{3},y_{3})$，

假設我們將 點平移至原點得到三位移向量$\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})與\overrightarrow{PR}=(x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1})，\overrightarrow{QR}=(x_{3}-x_{2},y_{3}-y_{2})$，如下圖所示。


那麼觀察上述向量的關係我們發現：

$$x_{3}-x_{1}=(x_{3}-x_{2})+(x_{2}-x_{1}),\quad y_{3}-y_{1}=(y_{3}-y_{2})+(y_{2}-y_{1})$$

也就是說呢，$\overrightarrow{PR}$向量的x座標與y座標分別是$\overrightarrow{PQ}$與$\overrightarrow{QR}$的$x$座標與$y$座標的和。

假設任給兩個位移向量$\overrightarrow{u}=(u_{1},u_{2}),\overrightarrow{v}=(v_{1},v_{2})$，我們定義

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})$$

稱為向量$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$的和。

由此定義，我們不難發現$\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}$這就給出了向量和的幾何意義。

任給平面中的三角形$ABC$，將$A$平移至原點，並且$B,C$的新座標分別為$B(x_{1},y_{1}),C(x_{2},y_{2})$。為了讓符號簡單，我們用$\overrightarrow{u}$表$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{v}表\overrightarrow{AC}$，
由餘弦定理可知

$$\displaystyle\cos A=\frac{\overline{AB}^{2}+\overline{AC}^{2}-\overline{BC}^{2}}{2\overline{AB}\cdot\overline{AC}}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|}$$

我們定義向量$\overrightarrow{u}與\overrightarrow{v}$的內積為

$$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$$

則我們發現

$$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|\cos A，$$

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**(p) 平面向量的內積**
(1) 座標平面上兩向量$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$的內積為
$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}| \cos{\theta}$$
其中$\theta$為$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$的夾角。
(2)座標平面上兩向量$\overrightarrow{u} = (x_1, y_1)$, $\overrightarrow{v} = (x_2, y_2)$的內積為
$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1x_2 + y_1y_2$$
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設$\overrightarrow{a} = (\sqrt3, 1)$, $\overrightarrow{b}= (-1, 0)$，試求:
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \qquad$ (2)$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$兩向量的夾角
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內積的一個用處是可以用來判斷兩向量是否垂直。
給定兩個非零向量$\overrightarrow{u}$和$\overrightarrow{v}$，
(1)當$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$互相垂直時，$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\cos{90^\circ} = 0$
(2)反之，當$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$時，可得$\cos{\theta} = 0$，故$\theta = 90^\circ$，即$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$互相垂直。
因此，我們得到兩個向量垂直的判定法則 :
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**(p)兩向量垂直的判定法則**
設$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$為兩個平面向量，則:
(1)若$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$互相垂直，則$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$。
(2)若$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$，則$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$互相垂直。
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$A$點的座標為$(3, 1)$，$B$點在直線$x = -1$，若$\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}$，試求$B$點的座標。
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**(p)內積的基本性質**
設$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$為平面上任意向量，$\alpha$為任意實數，則 :
(1)$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$
(2)$(\alpha \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot (\alpha \overrightarrow{v})$
(3)$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$
(4)$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = |\overrightarrow{u}|^2$
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上述的基本性質的
(1)表示內積有交換律。
(2)說明內積和係數的乘法關係
(3)表示內積對加法有分配律
(4)表示一向量和自己做內積，結果是其長度的平方。
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兩向量$\overrightarrow{u}$與$\overrightarrow{v}$的夾角為$60^\circ$，$|\overrightarrow{u}| = 1$，$|\overrightarrow{v}| = 2$，令$\overrightarrow{OP} = 3\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}$，試求$\overrightarrow{OP}$的長度
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利用向量的內積我們可以得到一個重要的不等式。設$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$為平面上兩個非零向量，其夾角為$\theta$，由定義知
$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos{\theta}$$
又因為$|\cos{\theta}| \leq 1$，所以
$$\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right|\leq\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|$$
這個不等式稱為**柯西不等式**
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**(p)柯西不等式**
向量形式 : 若$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$為平面上任意兩非零向量，則
$$|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}| \leq |\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|$$
一般形式 : 若$x_1$，$y_1$，$x_2$，$y_2$為任意實數，則
$$(x_1x_2 + y_1y_2)^2 \leq (x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2)$$
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柯西不等式可以用來求在某些限制條件下，目標函數的最大值或最小值。
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設實數$x$，$y$滿足$3x+4y = 5$，試求$x^2 + y^2$的最小值。
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所以知道了向量的內積，也可以求得向量的長度。以下作為向量內積的應用，我們來計算三角形的面積。我們知道，三角形的面積為

$$\displaystyle\triangle=\frac{1}{2}|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\sin A.$$

因此我們可得$2\triangle=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|\sin A$，由於$\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$，將上式與$\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|}$平方之後相加得到

$$(2\triangle)^{2}+(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})^{2}=|\overrightarrow{u}|^{2}|\overrightarrow{v}|^{2}.$$

因此我們得到

$$\triangle=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{u}\right|^{2}\left|\overrightarrow{v}\right|^{2}-(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})^{2}}$$

再將$\overrightarrow{u}=(x_{1},y_{1}),\overrightarrow{v}=(x_{2},y_{2})$帶入之後可得

$$\displaystyle\triangle=\frac{1}{2}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|,$$

其中我們使用到了等式

$$(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})-(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}=(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}.$$

我們記

$$\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right|=ad-bc$$

那麼三角形的面積公式可以改寫為

$$\triangle=\frac{1}{2}|\left| \begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \\ \end{array} \right||$$

如果我們想要求由向量$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$所張成的平行四邊形面積，那麼從三角形面積為平行四邊形的二分之一知道

$$\Box=|\left| \begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \\ \end{array} \right||$$

其中我們稱

$$\left| \begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \\ \end{array} \right|$$

為向量$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$的行列式值。
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設$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$為平面上兩個向量且$|\overrightarrow{u}| = 2$，$|\overrightarrow{v}| = 3$，$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 4$，試求 :
(1)由$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$所張成的三角形面積。
(2)由$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$所張成的平行四邊形面積。
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