情報幾何ゼミ1
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\newcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\ip}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}
\newcommand{\pdiff}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
$$

## 前回のあらすじ

+ 楽しい楽しい添字パラダイスがそこにはあった

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## やりたいこと

+ 曲面を調べる
+ 微小領域ならベクトル空間っぽくなるはず

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## 一般の曲面のお話
+ 今までの話を一般の曲面に拡張
+ ３次元空間内の２次元曲面は，２つのパラメータで表せる
\begin{equation}
\vec{r} = \left(
\begin{array}{c}
x^1(u^1, u^2) \\
x^2(u^1, u^2) \\
x^3(u^1, u^2) \\
\end{array}
\right)
\end{equation}

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## 微小領域を考える
+ 微小領域を考えれば線形空間っぽい
\begin{equation}
d\vec{r} = \pdiff{\vec{r}}{u^i}du^i \equiv \vec{e}_idu^i
\end{equation}
+ 座標変換$(u^1, u^2)\rightarrow(\xi^1, \xi^2)$でどうなる？
\begin{equation}
\vec{e}'_a\equiv \pdiff{\vec{r}}{\xi^a}
= \pdiff{u^i}{\xi^a}\pdiff{\vec{r}}{u^i}
= \pdiff{u^i}{\xi^a}\vec{e}_i
\end{equation}
+ 変換はヤコビ行列になる！

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## 内積は

+ $g_{ij}=g(\vec{e}_i,\vec{e}_j)=\ip{\vec{e}_i}{\vec{e}_j}$は場所の関数になっている
+ $g$をリーマン計量という
+ 微小ベクトル$d\vec{r}$の長さは
\begin{equation}
d\vec{r}^2=g(du^i\vec{e}_i,du^j\vec{e}_j)
=\sum_{i,j}du^idu^jg_{ij}
\end{equation}

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## 球面を例に

+ 球座標$(r, \theta, \phi)$で$r=a$と固定
+ $(u^1, u^2)=(\theta, \phi)$とする
\begin{equation}
\vec{e}_1 = \left(
\begin{array}{c}
a\cos\theta\cos\phi \\
a\cos\theta\sin\phi \\
-a\sin\theta \\
\end{array}
\right)
,
\vec{e}_2 = \left(
\begin{array}{c}
-a\sin\theta\sin\phi \\
a\sin\theta\cos\phi \\
0 \\
\end{array}
\right)
\end{equation}
+ 内積をとる
\begin{equation}
g_{11}=a^2, g_{12}=g_{21}=0, g_{22}=a^2\sin^2\theta
\end{equation}
+ つまり，$d\vec{r}^2=a^2d\theta^2+a^2\sin^2\theta d\phi^2$

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## 2回微分を考える

+ 速度ベクトルは接平面の中に収まっていた
+ 加速度ベクトルを考えるときは接平面の外を考える必要あり
\begin{eqnarray}
\partial_i \vec{e}_j \equiv \Gamma_{ij}^k\vec{e}_k + N\vec{n}
\end{eqnarray}
+ $\partial_i\equiv\pdiff{}{u^i}$，$\vec{n}$は接平面と直交するベクトル
+ $\Gamma_{ij}^k$を接続係数という

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## $\Gamma_{ij}^k$を求める

+ $2^3=8$通り
+ $\partial_i\vec{e}_j=\partial_i\partial_j\vec{r}=\partial_j\vec{e}_i$なので，実は$\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k$
$\to$ 6通りでOK

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## $\Gamma_{ij}^k$を求める(つづき)

+ $\vec{e}_i\cdot\vec{n}=0$をうまく使いたい
\begin{eqnarray}
\vec{e}_l\cdot(\partial_i\vec{e}_j)
&=& \Gamma_{ij}^k\vec{e}_l\cdot\vec{e}_k+N\vec{e}_l\cdot\vec{n} \\
&=& \Gamma_{ij}^kg_{lk}
\end{eqnarray}
+ $j,l$を入れ替えれば

\begin{equation}
(\partial_i\vec{e}_l)\cdot\vec{e}_j
= \Gamma_{il}^kg_{jk}
\end{equation}

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## $\Gamma_{ij}^k$を求める(つづき)

+ 両辺足す
\begin{equation}
\vec{e}_l\cdot(\partial_i\vec{e}_j)+(\partial_i\vec{e}_l)\cdot\vec{e}_j=\Gamma_{ij}^kg_{lk}+\Gamma_{il}^kg_{jk}
\end{equation}
+ よく見れば左辺は$\partial_ig_{lj}$
+ 適当に添字を付け直す
\begin{equation}
\partial_i g_{jk}
= \Gamma_{ij}^lg_{kl} + \Gamma_{ik}^lg_{jl}
\end{equation}
+ $\Gamma_{ij}^lg_{kl}\equiv\Gamma_{ij,k}$とおく
\begin{equation}
\partial_i g_{jk} = \Gamma_{ij,k}+\Gamma_{ik,j}
\end{equation}

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## $\Gamma_{ij}^k$を求める(つづき)

+ $i, j, k$を入れ替えて3つ式を作る
\begin{eqnarray}
\partial_i g_{jk} = \Gamma_{ij,k}+\Gamma_{ik,j}\\
\partial_j g_{ki} = \Gamma_{jk,i}+\Gamma_{ji,k}\\
\partial_k g_{ij} = \Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i}
\end{eqnarray}
+ $\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k$を思い出す$\to$$\Gamma_{ij,k}=\Gamma_{ji,k}$
\begin{eqnarray}
2\Gamma_{ij,k}
&=&(\Gamma_{ij,k}+\Gamma_{ik,j})
+(\Gamma_{jk,i}+\Gamma_{ji,k})
-(\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i}) \\
&=& \partial_i g_{jk}
+\partial_j g_{ki}
-\partial_k g_{ij} \\
\therefore\Gamma_{ij}^k&=&g^{kl}\Gamma_{ij,l}
=\frac{1}{2}g^{kl}(\partial_i g_{jl}
+\partial_j g_{li}
-\partial_l g_{ij})
\end{eqnarray}

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## 球面で実際に計算

+ さっきの
\begin{eqnarray}
&g_{11}=a^2,\ g_{12}=g_{21}=0,\ g_{22}=a^2\sin^2\theta \\
&\to g^{11}=\frac{1}{a^2},\ g^{12}=g^{21}=0,\ g^{22}=\frac{1}{a^2\sin^2\theta}
\end{eqnarray}
+ 偏微分は$\partial_1 g_{22}=a^2\sin 2\theta$で，ほかは全部ゼロ
\begin{eqnarray}
&\to\Gamma_{12,2}=\Gamma_{21,2}=-\Gamma_{22,1}=\frac{1}{2}a^2\sin2\theta \\
&\Gamma_{ij,k}=0 \ (others)
\end{eqnarray}

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## 球面で実際に計算(つづき)

+ $g^{ij}$をかけて和をとる
\begin{eqnarray}
\Gamma_{12}^2&=&\Gamma_{21}^2=\frac{1}{\tan\theta}\\
\Gamma_{22}^1&=&-\frac{1}{2}\sin2\theta \\
\Gamma_{ij}^k&=&0\ (others)
\end{eqnarray}

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## 曲面上の世界

+ ２階微分の式をもう一度見る
\begin{equation}
\partial_i \vec{e}_j = \Gamma_{ij}^k\vec{e}_k + N\vec{n}
\end{equation}
+ 曲面上に住んでいる人の気持ちに立つ
+ 第２項は曲面と直交しているので，曲面人には見えない
+ 曲面人が理解できるのは第１項のみ

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## 共変微分

+ $\vec{e}_i$方向への$\vec{e}_j$の共変微分
\begin{equation}
\nabla_{\vec{e}_i} \vec{e}_j \equiv \Gamma_{ij}^k\vec{e}_k
\end{equation}
+ 一般に，$\vec{w}=w^i\vec{e}_i$方向への共変微分は
\begin{equation}
\nabla_\vec{w} \vec{e}_j=\nabla_{w^i\vec{e}_i}\vec{e}_j=w^i\nabla_{\vec{e}_i}\vec{e}_j=w^i\Gamma_{ij}^k\vec{e}_k
\end{equation}
+ それぞれの$\vec{e}_i$の方向に分解する

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## ライプニッツ則

+ $f(u^1,u^2)\vec{e}_j$の微分を考える($f$は曲面上の実数値関数)
+ まずはふつうに
\begin{eqnarray}
\partial_i (f(p)\vec{e}_j)
&=& (\partial_i f(p))\vec{e}_j + f(p)(\partial_i \vec{e}_j)\\
&=& (\partial_i f(p))\vec{e}_j + f(p)(\nabla_i\vec{e}_j + N\vec{n})
\end{eqnarray}
+ 曲面内だけなら$\nabla_i (f(p)\vec{e}_j)=(\partial_i f(p))\vec{e}_j+f(p)(\nabla_i\vec{e}_j)$
$\to$ ライプニッツ則

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## あわせる

+ これをふまえて
\begin{eqnarray}
\nabla_\vec{w}\vec{v}&=&w^i\nabla_{\vec{e}_i}(v^j\vec{e}_j)\\
&=&w^i\left((\partial_i v^j)\vec{e}_j+v^j\Gamma_{ij}^k\vec{e}_k\right) \\
&=&w^i(\partial_i v^k+v^j\Gamma_{ij}^k)\vec{e}_k
\end{eqnarray}
+ やばそう

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## 解釈

+ 曲面上にベクトル場$\vec{v}=v^i\vec{e}_i$をとる
+ 微小ベクトル$d\vec{r}=du^i\vec{e}_i$離れた点の$\vec{v}$ は
\begin{eqnarray}
\vec{v}(\vec{r}+d\vec{r})&=&\vec{v}(\vec{r})+\nabla_{d\vec{r}}\vec{v}\\
&=&\vec{v}(\vec{r})+du^i(\partial_i v^k+v^j\Gamma_{ij}^k)\vec{e}_k
\end{eqnarray}
に見えるということ($\vec{r}$から見て)
+ もし$\nabla_{d\vec{r}}\vec{v}=0$なら，$\vec{v}$ は定ベクトルに見える

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## 平行移動

+ 定ベクトルのまま始点だけをずらす
+ $\nabla_{\vec{r}}\vec{v}=0$をみたすように$\vec{v}$を動かせば，平行移動になるはず
+ 曲線$C=\{ (x^1(t), x^2(t))|a\le t\le b \}$に沿って平行移動したベクトルは
\begin{eqnarray}
&\dot{v}^k+\dot{x}^iv^j\Gamma_{ij}^k = 0\ (k=1,2)& \\
&\vec{v}(0) = \vec{v}_0&
\end{eqnarray}
の解

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## また計算してみた

+ 半径1の球面上を考える
+ $C = \{(\theta_0, \phi)|0 \le \phi \le 2\pi\}$ (緯線)
+ $(v^1, v^2)=(1, 0)$ ($t=0$での$\vec{e}_\theta$)
+ こうだった
\begin{eqnarray}
\Gamma_{12}^2&=&\Gamma_{21}^2=\frac{1}{\tan\theta}\\
\Gamma_{22}^1&=&-\frac{1}{2}\sin2\theta \\
\Gamma_{ij}^k&=&0\ (others)
\end{eqnarray}

## また計算してみた(つづき)未編集

+ 微分方程式
\begin{eqnarray}
\dot{v}^1 - v^2\sin^2\theta_0 = 0 \\
\dot{v}^2 + v^1 = 0
\end{eqnarray}
+ よって
\begin{eqnarray}
&\ddot{v}^1 = -v^1\sin^2\theta_0& \\
\rightarrow &v^1 = \cos(\phi\sin\theta_0)& \\
&v^2 = -\frac{\sin(\phi\sin\theta_0)}{\sin\theta_0}&
\end{eqnarray}

## なるほど

+ $\theta_0 \ne \pi/2$のときは一周しても元に戻らない！
+ 球面の曲率が0ではないからこうなる