情報幾何ゼミ0
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\newcommand{\vec}[1]{\boldsymbol{#1}}
\newcommand{\ip}[2]{\langle{#1},{#2}\rangle}
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## はじめに
+ 先陣切って地獄を見てきた感想
+ 勉強中なので，あくまで参考程度で
+ 間違いとかあったら指摘お願いします

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## やりたいこと
+ 図形の性質を調べるために座標がほしい
+ でも得られた結果は座標に依存しないでほしい(幾何的)
+ いきなり一般の曲面を扱うのは難しい
$\rightarrow$はじめは線形空間を扱う
+ とりあえず$\mathbb{R}$上の有限次元ベクトル空間とする

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## ベクトル空間
+ 和とスカラー倍について閉じている

\begin{eqnarray}
\vec{a}, \vec{b} \in V, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \Rightarrow
\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} \in V
\end{eqnarray}

+ これだけではよくわからない$\rightarrow$やっぱり座標がほしい

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## 基底を入れる
+ 座標表示ができるようになる
\begin{equation}
\vec{v} = \sum_i x^i \vec{a}_i
\end{equation}
+ ベクトルが先にあって，座標は後から入れる
+ 座標はあくまで人為的なもの

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## 基底の変換
+ 基底は好きに選んでいい

\begin{equation}
v = \Sigma_i x^i\vec{a}_i = \Sigma_i y^i\vec{b}_i
\end{equation}

+ 行列形式
\begin{equation}
\vec{v} = A\vec{x} = B\vec{y}
\end{equation}

+ $B = AP$のとき，$\vec{v}=B\vec{y}=AP\vec{y}=A\vec{x}$
+ つまり$\vec{y} = P^{-1}\vec{x}\to$逆行列になっている！

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## アインシュタインの規約
+ $\Sigma$をいちいち書くのはめんどい
+ 上下に同じ添字があれば和を取るルールにする
+ 前の変換式に適用すると…
\begin{equation}
\vec{v} = x^i\vec{a}_i = y^j\vec{b}_j
\end{equation}

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## 変換再び
+ $\vec{b}_j = p_j^k\vec{a}_k$のとき
\begin{equation}
\vec{v} = y^j (p_j^k\vec{a}_k) = x^i\vec{a}_i \Rightarrow y^jp_j^i = x^i
\end{equation}
+ わからなければ$\Sigma$をつけてみよう
+ $B = AP \Rightarrow \vec{x} = P\vec{y}$ の別表現

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## 逆変換

+ $\vec{b}_i = p_i^j\vec{a}_j$, $\vec{a}_i = q_i^j\vec{b}_j$とする
\begin{eqnarray}
\vec{b}_i = p_i^j\vec{a}_j = p_i^jq_j^k\vec{b}_k
\end{eqnarray}
なので
\begin{equation}
p_i^jq_j^k = \delta_i^k
\end{equation}
が成り立たないといけない（逆行列に対応）

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## 長さを測ろう
+ 座標が入る$\neq$長さが測れる
+ ベクトル空間に別途オプションを追加する必要あり$\rightarrow$内積
+ 長さは基底の取り方によらない（そうであってほしい）
+ 演算法則を使って内積を定義しよう

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## 内積の定義
+ 以下のルールをみたす写像$\ip{\ }{}: V\times V\rightarrow\mathbb{R}$を$V$上の内積という
1. $\ip{\vec{v}}{\vec{w}} = \ip{\vec{w}}{\vec{v}}$
2. $\ip{\vec{v}}{\vec{w}_1+\vec{w}_2} = \ip{\vec{v}}{\vec{w}_1}+\ip{\vec{v}}{\vec{w}_2}$
3. $\ip{\vec{v}}{\alpha\vec{w}} = \alpha\ip{\vec{v}}{\vec{w}}$
4. $\ip{\vec{v}}{\vec{v}}\ge0$

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## 計算してみる
+ $\vec{v} = x^i\vec{a}_i$と$\vec{w} = y^j\vec{b}_j$の内積は？
\begin{equation}
\ip{\vec{v}}{\vec{w}} = x^iy^j\ip{\vec{a}_i}{\vec{b}_j}
\end{equation}
+ $\vec{a}_i = p_i^k\vec{a}'_k$と基底を変換
$\to$ 座標は逆の変換$x'^k=x^ip_i^k$
+ 内積は基底によらない
\begin{equation}
\ip{\vec{v}}{\vec{w}} = x^iy^j\ip{p_i^k\vec{a}'_k}{\vec{b}_j} = (x^ip_i^k)y^j\ip{\vec{b}_k}{\vec{b}_j} = x'^iy^j\ip{\vec{a}'_k}{\vec{b}_j}
\end{equation}

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## 内積の別の見方
+ 内積$\vec{v}\cdot\vec{w}$は，$\vec{w}$を固定すると，$\vec{v}$を実数に対応させる写像とも思える
\begin{equation}
\vec{v}\cdot\vec{w} = f_\vec{w}(\vec{v})
\end{equation}
+ 線形写像$f:V\rightarrow\mathbb{R}$を線形汎関数という
+ 実は線形汎関数もベクトルになる

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## 双対空間
+ $V$上の線形汎関数$f:V\rightarrow \mathbb{R}$のなす空間を$V$の双対空間といい，$V^\ast$とかく
+ 次元は$V$といっしょ
+ $\vec{a}, \vec{b} \in V, \alpha \in \mathbb{R}$とすると
\begin{eqnarray}
f_{\vec{a}}+f_{\vec{b}} &=& f_{\vec{a}+\vec{b}} \in V^\ast \\
\alpha f_{\vec{a}} &=& f_{\vec{\alpha \vec{a}}} \in V^\ast
\end{eqnarray}

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## 双対空間(つづき)

+ $f^i(\vec{e}_j) = \delta^i_j$をみたす$f^i \in V^\ast$を集めると基底になる
+ これを$\{\vec{e}_i\}$の双対基底とよぶ
\begin{equation}
\mathbb{R}f^1 + \cdots + \mathbb{R}f^n = V^\ast
\end{equation}

+ 逆に，$V^\ast$の元から見れば，$V$の元は双線形写像と思える
\begin{equation}
\vec{a}: f \rightarrow \mathbb{R}, f \mapsto f(\vec{a})
\end{equation}
+ つまり$(V^\ast)^\ast = V$

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## テンソル: 内積を例に

+ $\vec{v}=x^i\vec{e}_i$と$\vec{w}=y^i\vec{e}_i$の内積
\begin{equation}
\ip{\vec{v}}{\vec{w}} = x^iy^j\ip{\vec{e}_i}{\vec{e}_j} \equiv x^iy^jg_{ij}
\end{equation}
+ $\vec{e}'_i=p_i^j\vec{e}_j$のとき，
\begin{eqnarray}
x^i=p_j^ix'^j&,& y^i=p_j^iy'^j\\
g'_{ij} = \ip{\vec{e}'_i}{\vec{e}'_j}
&=& p_i^kp_j^l\ip{\vec{e}_k}{\vec{e}_l}
= p_i^kp_j^lg_{kl}
\end{eqnarray}
+ 内積の変化と2つの座標成分の変化が打ち消す
(ベクトルで同じようなことをした思い出)
+ うまく定式化したい$\to$テンソルへ

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## ちゃんとしたテンソルの定義

+ 多重線形写像 $F: \underbrace{V^\ast\times\cdots\times V^\ast}_{r}\times\underbrace{V\times\cdots\times V}_{s}\rightarrow \mathbb{R}$
を$(r, s)$型テンソルという
+ $V$の元は$(1, 0)$型テンソル
+ $V^\ast$の元は$(0, 1)$型テンソル
+ 内積は$(0, 2)$型テンソル

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## 成分表示

+ $V$に基底$\{\vec{e}_i\}$と，双対基底$\{f^i\}$をとる
+ $\vec{e}\in V$は$\vec{e}=x^i\vec{e}_i$と展開
$\to i$成分は$x^i$
+ $f\in V^\ast$は$f=y_if^i$と展開
$\to i$成分は$y_i$
+ 内積$g$の$(i, j)$成分はなんぞ?

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## 成分表示(つづき)
+ $g$が$(0, 2)$テンソルであることを思い出す
\begin{eqnarray}
&g = g_{ij} f^{ij}& \\
&\left(ただしf^{ij}(\vec{e}_k, \vec{e}_l)=\delta_k^i \delta_l^j\right)&
\end{eqnarray}
+ $(i, j)$成分は$g_{ij}$になる
+ ちなみに$\delta_j^i$は$(1,1)$型テンソルの成分

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## 小さなテンソルに分解

+ 自明に$f^{ij}(\vec{e}_k, \vec{e}_l)=f^i(\vec{e}_k)f^j(\vec{e}_l)$
+ $f^{ij}$は，$f^i$と$f^j$の積のようなもの?
+ そんな気持ちを込めて$f^{ij}=f^i\otimes f^j$と書く$\to$テンソル積

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## テンソル積

+ 2つのテンソル$F, G$(それぞれ$(r_1,s_1)$型，$(r_2,s_2)$型とする)
+ 新しい$(r_1+r_2,s_1+s_2)$型テンソル$F\otimes G$を作る
\begin{eqnarray}
F&\otimes& G(f^{i_1},\dots,f^{i_{r_1+r_2}},\vec{e}_{j_1},\dots,\vec{e}_{j_{s_1+s_2}}) \\
&\equiv& F(f^{i_1},\dots,f^{i_{r_1}},\vec{e}_{j_1},\dots,\vec{e}_{j_{s_1}}) \\
&\times& G(f^{i_1},\dots,f^{i_{r_2}},\vec{e}_{j_1},\dots,\vec{e}_{j_{s_2}})
\end{eqnarray}
+ $g$は$g=g_{ij}f^i\otimes f^j$とかける

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## 添字について

+ $V$の基底の添字はずっと下に書いてきた
+ 上に書くやつはないの？
+ そういえば双対基底$f^i$なんてものがあった
+ これに対応する$V$のベクトルを$\vec{e}^i$と呼べばよさそう

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## やってみた

+ まず，$\ip{\vec{e}^i}{\vec{e}_j}=\delta_j^i$をみたすように$\vec{e}^i$を決める
+ $\vec{e}^i$って具体的にどうなる？
+ とりあえず，$\vec{e}_i=p_{ij}\vec{e}^j$としておく
\begin{equation}
\ip{\vec{e}_i}{\vec{e}_j}=\ip{p_{ik}\vec{e}^k}{\vec{e}_j}=p_{ik}\delta_j^k=p_{ij}
\end{equation}
+ なんと$p_{ij}=\ip{\vec{e}_i}{\vec{e}_j}=g_{ij}\to\vec{e}_i=g_{ij}\vec{e}^j$

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## 逆もやる

+ $\ip{\vec{e}^i}{\vec{e}^j}=g^{ij}$とする
+ 実は同じようにして$\vec{e}^i=g^{ij}\vec{e}_j$もわかる
+ つまり，添字を上げたいときは$g^{ij}$をかけて和をとる
+ 逆に，下げたいときは$g_{ij}$をかけて和をとる
+ 2つは逆変換になっている$\to g_{ik}g^{kj}=\delta_i^j$
\begin{equation}
\vec{e}_i=g_{ik}\vec{e}^k=g_{ik}g^{kj}\vec{e}_j
\end{equation}

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## 座標成分の添字

+ 今まで座標成分は上に添字を書いていた
+ もし$\vec{e}_i$で展開すれば，座標成分の添字は下に書く
\begin{equation}
\vec{v}=x^i\vec{e}_i=x_i\vec{e}^i
\end{equation}
+ $x^i$と$x_i$の関係は？
\begin{eqnarray}
&x^i\vec{e}_i=x_i\vec{e}^i=x_ig^{ij}\vec{e}_j \\
&\therefore x^i=x_jg^{ji}
\end{eqnarray}
+ 添字の上げ下げは基底と同じようにできる

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## おしまい