# Maths S1

###### tags: E3MATHS, MATHS, TD4, TD3, COMPLEXES, TRIGO

[TOC]

## Identités remarquables

- $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
- $(a+b)^2=a^2-2ab+b^2$
- $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

## Puissances

- $a^{-n}=1/a^{n}$
- $a^na^m=a^{n+m}$
- $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
- $(ab)^n=a^nb^n$
- $(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$
- $(a^n)^m=a^{nm}$

## Second degré
:::info
$ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ entre dehors des racines
:::

:::warning
$\Delta = b^2-4ac$
**Forme factorisée :**
Si il y a deux racines : $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
Si il y a une seule racine : $ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$
:::

- Si $\Delta > 0$, 2 solutions réelles :
$$
x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}\\
x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}
$$

- Si $\Delta = 0$, 1 solution :
$$
x_1 = \frac{-b }{2a}
$$

- Si $\Delta < 0$, 2 solutions complexes :
$$
x_1 = \frac{-b-i\sqrt{-\Delta} }{2a}\\
x_2 = \frac{-b+i\sqrt{-\Delta} }{2a}
$$

### Forme canonique
$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta$

:::success
Exemple :
$4x^2-32x+36$
$=4[x^2-8x+9]$ # On factorise par la puissance la plus grande
$=4[(x-4)^2-16+9]$ # On essaie de trouver une identité remarquable
$=4(x-4)^2-28$ # On développe pour avoir la forme canonique
:::

## Formules nombres complexes
:::info
Forme algébrique : $z=x+iy$
:::
- $i^2=-1$
- $e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)$
- Module : $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
- Conjugué : $\overline{z}=x-iy$
- $z\overline{z}=|z|^2$
- $z=z'\Leftrightarrow \begin{cases} \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(z') \\ \operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(z') \end{cases}$

:::info
Forme trigonométrique : $z=|z|(cos(\theta)+isin(\theta))$
:::

:::info
Forme exponentielle : $z=|z|e^{i\theta}$
:::
- $|z|cos(\theta)=x$
- $|z|sin(\theta)=y$

:::danger
$i=e^{i\frac{\pi}{2}}$
$-i=e^{-i\frac{\pi}{2}}$
$1=e^{i0}$
$-1=e^{i\pi}$
:::
## Formules trigonométrie

- $cos(-x)=cos(x)$
- $cos(\frac{\pi}{2}+x) = -sin(x)$
- $cos(\frac{\pi}{2}-x) = sin(x)$
- $cos(\pi-x) = -cos(x)$
- $cos(x-\frac{\pi}{6})=\frac{cos(x)~\times~\sqrt{3}~+~sin(x)}{2}$

---

- $sin(-x)=-sin(x)$
- $sin(\frac{\pi}{2}+x) = cos(x)$
- $sin(\frac{\pi}{2}-x) = cos(x)$
- $sin(\pi-x) = sin(x)$
- $sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(x)+sin(x))$
- $sin(x-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}cos(x)$

---

- $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$
- $cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$
- $sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)$
- $sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)$

---
- $cos(a)=cos(b) \Leftrightarrow \begin{cases} a=b+2k\pi \\ a=-b+2k\pi \end{cases}$
- $sin(a)=sin(b) \Leftrightarrow \begin{cases} a=b+2k\pi \\ b=\pi-a+2k\pi \end{cases}$
---
- **Forumule d'Euler :**
$$
cos(x)^n= \left( \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \right)^n\\
sin(x)^n=\left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^n
$$
- **Formule de Moivre :**
$$
e^{in\theta}=(e^{i\theta})^n
$$

- **Formule de Simpson**
$$
cos(a)cos(b)=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)]
\\
sin(a)sin(b)=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]
\\
sin(a)cos(b)=\frac{1}{2}\left[sin(a+b)+sin(a-b)\right]
$$

- **Formule de factorisation**
$$
cos(p)+cos(q)=2cos\left(\frac{p+q}{2}\right)cos\left(\frac{p-q}{2}\right)
\\
cos(p)-cos(q)=-2sin\left(\frac{p+q}{2}\right)sin\left(\frac{p-q}{2}\right)
\\
sin(p)+sin(q)=2sin \left( \frac{p+q}{2} \right) cos \left( \frac{p-q}{2} \right)
\\
sin(p)-sin(q)=2cos \left( \frac{p+q}{2} \right) sin \left( \frac{p-q}{2} \right)
$$
---

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
angle & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} & \pi \\
\hline
cos & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -1\\
\hline
sin & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & 0\\
\hline
\end{array}
$$