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title: 挑戰題 12.
tags: [多項式]

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###### tags: `多項式`

# 挑戰題 12.
設 $x^3-7x-6=0$ 的三根為 $\alpha，\beta，\gamma$，則
1. 以$\begin{align}\frac{1}{\alpha}，\frac{1}{\beta}，\frac{1}{\gamma}\end{align}$ 為三根的方程式為$\underline{\qquad\qquad}$
1. 以 $\alpha^2，\beta^2，\gamma^2$ 為三根的方程式為 $\underline{\qquad\qquad}$
1. 以 $\alpha^3，\beta^3，\gamma^3$ 為三根的方程式為 $\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：$
1. $6x^3+7x^2-1=0$
2. $x^3-14x^2+49x-36=0$
3. $x^3-18x^2-235x-216=0$

$\boxed{解}：$
1. 令 $\begin{align}y=\frac{1}{x}\end{align}$，則 $y$ 的三根為 $\begin{align}\frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta},\frac{1}{\gamma}\end{align}$
$\begin{align}x=\frac{1}{y}\end{align}$ 代入原方程式
$\begin{align}(\frac{1}{y})^3-7\cdot\frac{1}{y}-6=0\end{align}$
$\begin{align}\Rightarrow 1-7y^2-6y^3=0\end{align}$
$\Rightarrow 6y^3+7y^2-1=0$
1. 令 $y=x^2$，則 $y$ 的三根為 $\alpha^2,\beta^2,\gamma^2$
$x^3-7x=6$
$\Rightarrow x(x^2-7)=6$
兩邊平方 $\Rightarrow x^2(x^2-7)^2=36$
$y=x^2$ 代入 $y(y-7)^2=36$
$\Rightarrow y^3-14y^2+49y-36=0$
1. 令 $y=x^3$，則 $y$ 的三根為 $\alpha^3,\beta^3,\gamma^3$
$x^3-6=7x$
兩邊同時三次方 $\Rightarrow (x^3-6)^3=(7x)^3$
$y=x^3$ 代入 $(y-6)^3=343y$
$\Rightarrow y^3-18y^2-235y-216=0$

:::warning
也可以用根與係數關係慢慢計算
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