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title: 挑戰題 6.
tags: [直線與圓]

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###### tags: `直線與圓`

# 挑戰題 6. 
試求過直線 $x+2y-8=0$ 與 $2x-y-1=0$ 的交點，且被兩直線 $L_1:3x+4y-7=0$ 與 $L_2:3x+4y+8=0$ 所截得的線段長為 $3\sqrt{2}$ 的直線 $L$ 方程式$\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：7x+y-17=0、x-7y+19=0$
$\boxed{解}：$畫一個簡圖，
![挑戰題6.簡圖](https://i.imgur.com/W0aSQUJ.png =350x)
由直線系的假設法，設$L：k(x+2y-8)+(2x-y-1)=0$
$\Rightarrow (k+2)x+(2k-1)y+(-8k-1)=0$
又 $L_1$、$L_2$ 之間的距離 $\begin{align}d=\frac{|\;8-(-7)\;|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\end{align}$
得知 $\theta=45^\circ$
因此 $\begin{align}\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|\;3\cdot(k+2)+4\cdot(2k-1)\;|}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{(k+2)^2+(2k-1)^2}}\end{align}$
(請自行計算)
得 $\begin{align}k=\frac{9}{13}、-\frac{13}{9}\end{align}$
因此 $\begin{align}k=\frac{9}{13}\Rightarrow 9(x+2y-8)+13(2x-y-1)=0\Rightarrow 7x+y-17=0\end{align}$
$\begin{align}k=-\frac{13}{9}\Rightarrow 13(x+2y-8)-9(2x-y-1)=0\Rightarrow x-7y+19=0\end{align}$