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title: 柏任的數學作業

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# 柏任的數學作業
[Latex數學語法](https://math.meta.stackexchange.com/questions/5020/mathjax-basic-tutorial-and-quick-reference)
[hackmd語法](https://hackmd.io/c/tutorials-tw/%2Fs%2Ffeatures-tw)

## 0728
1. 化簡 $(a^2+1)(b^2+1)-(ab-1)^2-(a+b)^2$
$=a^2b^2+a^2+b^2+1-a^2b^2+2ab-1-a^2-b^2-2ab$
$=0$
2. 化簡 $(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$
$=(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)$
$=[a^2-(b+c)^2][a^2-(b-c)^2]$
$=(a^2-b^2-c^2-2bc)(a^2-b^2-c^2+2bc)$
$=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2$
$=a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2$

1. 如果 $a$ 是 $x^2-3x+1=0$ 的根，試求 $\begin{align}\frac{2a^5+5a^4+2a^3-8a^2}{a^2+1}\end{align}$ 的值。

2. 若 $f(x)=x^3+5x^2+8x+3$，求 $\begin{align}f(\frac{-3+\sqrt{17}}{2})\end{align}$。
:::danger
若$x=\begin{align}\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\end{align}$
$\Rightarrow2x=-3+\sqrt{17}$
$\Rightarrow(2x+3)^2=17$
$\Rightarrow4x^2+12x-8=0$
$x^2+3x-2=0$的解為$\begin{align}\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\end{align}$
$(x^3+5x^2+8x+3)\div(x^2+3x-2)=x+2...4x+7$
所以$x^3+5x^2+8x+3=(x^2+3x-2)(x+2)+4x+7=4x+7$
$\begin{align}f(\frac{-3+\sqrt{17}}{2})=4(\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\end{align})+7$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=1+2\sqrt{17}$
:::
5. 求 $2x+1$ 除 $222x^3-111x^2+444x+111$ 的商式？餘式？
:::info
$(222x^3-111x^2+444x+111)\div(2x+1)$
$=[(2x^3-x^2+4x+1)\div(2x+1)]\times111$
$=111x^2-111x+\begin{align}\frac{555}{2}...\frac{333}{2}\end{align}$
:::
6. 若 $f(x)$ 以 $x-1$ 除之，餘式為 $4$；以 $x+2$ 除之，餘式為 $-2$。求 $f(x)$ 以 $x^2+x-2$ 除之所得的餘式。

5. $x$ 的三次多項式 $f(x)$，在 $x=1、2、3$ 時，它的函數值都是 $5$；當 $x=-1$ 時，其值為 $53$，求此多項式 $f(x)$ 

7. 求以 $x^2-3x+2$ 去除 $x^{100}$ 的餘式為何？
:::danger $x^{100}\div(x^2-3x+2)=Q(x)...ax+b$
$x^{100}=(x-1)(x-2)\times Q(x)+ax+b$
將$x=1$代入，得 $a+b=1$
將 $x=1$代入，得 $2a+b=2^{100}$
$a=2^{100}-1，b=-2^{100}+2$
$ax+b=(2^{100}-1)x+(-2^{100}+2)$
:::
9. 多項式 $f(x)$ 除以 $x-1$ 餘 $2$，除以 $x^3+1$ 之餘式為 $(x-1)^2$，求 $f(x)$ 除以 $x^2-1$ 的餘式？

8. 求 $(x^2+5x+2)^3$ 除以 $x^2+2x+3$ 的餘式？

## 0714
1. 兩個連續正整數的和小於 $100$。將這兩個正整數分別平方後，求它們的差，則下列何者可能是它們的差？
(1) $2$   (2) $64$   (3) $79$ (4) $96$ (5) $131$。
:::info
設兩數分別為 $x$和 $x+1$ 
$(x+1)^2-x^2=2x+1$
$2x+1<100$ 
所以答案為(3)
:::
2. 已知 $y=ax^{999}+bx^{99}+cx^9-9$，當 $x=-3$ 時，$y=14$，則當 $x=3$ 時，$y$ 的值為何？
:::info
$ax^{999}+bx^{99}+cx^9=y+9$
當 $x=-3$ 時，$ax^{999}+bx^{99}+cx^9=14+9=23$
當 $x=3$ 時，$ax^{999}+bx^{99}+cx^9=-23=y+9\Rightarrow y=-32$
:::
3. 設 $f(x)=x^{103}+7x^{13}+3x^7+ax^2-7$，若 $f(2)+f(-2)=10$，則 $a=？$
:::info
奇數次方時，$f(2)+f(-2)=0$
只看偶數次方的部分，$(4a-7)+(4a-7)=10\Rightarrow 8a=24 \Rightarrow a=3$
:::
4. 設 $f(x)=ax^2+bx+c$，若 $f(7)=f(13)=f(29)=0$，則 $f(97)=？$
:::info
一個二次多項式，最多只會有兩個根，但 $f(x)$ 有三個根，
所以 $f(x)$ 是零多項式。
::: 
5. 設 $79$，$159$ 被某自然數 $n$ 除，所得的兩個餘數和為 $16$，求 $n$。
:::info
$79+159=238$ 
$238=an+16$
$222=an=2\times3\times37$
$\Rightarrow n=2,3,6,37,74,111,222$
$2,3,6,111,222$ 不合 $37,74$ 成立。 
:::
6. 設 $n$ 為正整數，求最大公因數 $(4n+3, 5n+2)$ 的所有可能值為？
:::info
設 $d$ 為最大公因數，
所以 $d|(4n+3)、d|(5n+2)\Rightarrow d|[5\times(4n+3)-4\times(5n+2)]$
$d|7$ 所以 $d$ 可為 $1,7$ 
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7. 將與 $105$ 互質的所有正整數，從小到大排成一個數列，則這個數列的第 $200$ 項為？
:::info
$105=3\times5\times7$
$\begin{align}105\times(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})=48\end{align}$
$200\div 48=4....8$
第八項與 $105$ 互質的數為 $17$
所以第 $200$ 項為 $105\times4+17=437$
:::
8. 將自然數依序刪去 $3$ 的倍數、$5$ 的倍數、$7$ 的倍數，其餘順序不變，得一數列，求此數列的第 $2018$ 項為？
:::info
$2018\div48=42...2$
第二項與 $105$ 互質的數是 $2$
$105\times42+2=4412$
:::
9. 若一個正整數恰有 $4$ 個正因數，則稱此正整數為「串數」。請問 $1$ 到 $50$ 之中共有幾個「串數」？
:::info
串數為 $p^3$ 或 $pq$ 這樣的型式，其中 $p,q$ 為質數
$2^3,3^3<50$ 共 $2$ 個
$2\times3，2\times5，2\times7，2\times11，2\times13，2\times17，2\times19，2\times23$
$3\times5，3\times7，3\times11，3\times13$
$5\times7$ 共 $13$ 組，$13+2=15$
:::
10. 設正整數 $n$ 是 $50$ 的倍數，且恰有 $50$ 個正因數，則 $n$ 的最小值為何？
:::info
因為 $n$ 是 $50$ 的倍數
所以令 $n=2\times5^2\times x$，$x$ 為正整數，
(1) $50=2\times 25\Rightarrow n=2\times 5^{24}$ 太大
(2) $50=5\times 10\Rightarrow n=2^9\times 5^4$ 或 $2^4\times 5^9$ 太大
(3) $50=2\times 5\times 5\Rightarrow n=3\times 5^4\times 2^4$ 或 $2\times 5^4\times 3^4$ 太大
$n$ 最小值為 $3\times5^4\times2^4=30000$
:::

## 0622
 1. 已知 $M=a^2+4ab+13b^2+6a-12b+25$，當 $(a,b)=\underline{\qquad}$時，$M$ 有最小值$\underline{\qquad}$？
:::info
$M=(a+2b)^2+9b^2+6(a+2b)-24b+25$
$\;\;\;\;\;=(a+2b+3)^2+9b^2-24b+16$
$\;\;\;\;\;=(a+2b+3)^2+(3b-4)^2$
當 $\begin{align}(a,b)=(-\frac{17}{3},\frac{4}{3})\end{align}$ $M$ 有最小值 $0$
:::

 2. 因式分解 $2x^2+3xy-2y^2+2x-11y-12=\underline{\qquad}$。
:::info
$=(x+2y+3)(2x-y-4)$
:::
 3. 找出 $371x+191y=555$ 的一組整數解
:::info
$-11x\equiv-18 \mod191$
$11x-18=191a$
$x=19，y=-34$
:::
 4. 求出一組整數解，滿足 $x^2+y^2=20262026$。
 :::danger
 $20262026=2026\times10001=(45^2+1^2)(100^2+1^2)$
 
 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2$
 $=[(ac)^2+2(ac)(bd)+(bd)^2]+[(ad)^2-2(ad)(bc)+(bc)^2]$
 $=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$
 
 $=(45\times100+1)^2+(45-100)^2$
 $x=4501，y=55$
 :::
 5. 已知 $(a,b,c,d)=(7,11,19,17)$ 滿足 $a^2+c^2=b^2+d^2$ 為一組四元質數解，是否存在其他的四元質數解？如果有，請找出另外任意兩組；如果沒有，請闡述原因。

## 0615

 1.  $863x-2151y=880$ 的一組正整數解：
:::info
$-425y\equiv17 \mod863$
$425y+17=863n$
$17\equiv13n\mod425$
$17-13n=425k$
$n=34，y=69，x=173$
:::
 2.  $x^2+y^2=1373$ 正整數解
:::info
$x=2a，y=2b+1\Rightarrow4a^2+4b^2+4b+1=1373$
$\Rightarrow a^2+b^2+b=343$
$a=1，b=18$
:::

 3.  $(xy-7)^2=x^2+y^2$ 的非負整數解。
:::info
$x^2y^2-14xy+49=x^2+y^2$
$x^2y^2-14xy-x^2-y^2=-49$
$x^2y^2-12xy+36-(x+y)^2=-49+36$
$(xy-6)^2-(x+y)^2=-13$
$(xy-6+x+y)(xy-6-x-y)=-13$


|$xy-6+x+y$ | $xy-6-x-y$ | $xy$ | $x+y$ |
|---- |---- |----|--- |
|$1$  |$-13$| $0$|$7$
|$-1$ |$13$ |$12$|$-7$
|$-13$|$1$  |$0$|$-7$
|$13$ |$-1$ |$12$|$7$

$(7,0)，(0,7)，(-3,-4)，(-4,-3)$
$(0,-7)，(-7,0)，(3,4)，(4,3)$
:::
 4.  $x^2+y^2=2000$ 的正整數解
:::info
$x=2a，y=2b\Rightarrow 4a^2+4b^2=2000$
$\Rightarrow a^2+b^2=500$
$a=2h，b=2k\Rightarrow h^2+k^2=125$
$h=2m，k=2n+1\Rightarrow4m^2+4n^2+4n=124$
$m^2+n(n+1)=31$
$(m,n)=(1,5)，(5,2)\;\;\;\;\;\;(x,y)=(8,44)，(40,20)$
:::
 5.  $x^2+y^2=41^n$，不論 $n$ 值為何，都可以找到正整數解
:::danger
$n=1\Rightarrow x^2+y^2=41\Rightarrow(x,y)=(4,5)$
$n=2\Rightarrow x^2+y^2=41\times41=(4^2+5^2)(4^2+5^2)$
$=4^2\times4^2+4^2\times5^2+5^2\times4^2+5^2\times5^2$
$=(4^2\times4^2+5^2\times5^2)+(4^2\times5^2+5^2\times4^2)$
$=(16^2-2\times16\times25+25^2)+(20^2+2\times20\times20+20^2)$
$=9^2+40^2$
$n=3\Rightarrow  x^2+y^2=41\times41^2=(4^2+5^2)(9^2+40^2)$
$=36^2+160^2+45^2+200^2$
$=(36-200)^2+(160+45)^2$

假設 $n=k$ 時，$x^2+y^2=41^k=a^2+b^2$
當 $n=k+1$ 時，$x^2+y^2=41^{k+1}=(a^2+b^2)(4^2+5^2)$
$=(4a)^2+(5a)^2+(4b)^2+(5b)^2$
$=(4a-5b)^2+(5a+4b)^2$
:::