###### tags: `多項式`

# 挑戰題 5.
$n\in\mathbb{N}$，若 $f(x)=x^n(x^2+ax+b)$ 被 $(x-2)^2$ 除之餘式為 $2^n(x-2)$，則數對 $(a,b)=$ $\underline{\qquad\qquad}$。

---

$\boxed{答}：(-3,2)$
$\boxed{解}：$ 由除法原理
$x^n(x^2+ax+b)=(x-2)^2Q(x)+2^n(x-2)$
令 $x=2$ 代入，
$2^n(4+2a+b)=0\Rightarrow b=-2a-4$
代入原式，
$x^n$(<font color="#f00">$x^2$</font>$+ax-2a$<font color="#f00">$-4$</font>$)=(x-2)^2Q(x)+2^n(x-2)$
$x^n((x+2)(x-2)+a(x-2))=(x-2)^2Q(x)+2^n(x-2)$
等號兩邊同除以 $x-2$，則
$x^n(x+2+a)=(x-2)Q(x)+2^n$
再次令 $x=2$ 代入，
$2^n(4+a)=2^n\Rightarrow a=-3\Rightarrow b=2$