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# 挑戰題 2.
若 $x^{2023}-1$ 除以 $(x^2+1)(x^2+x+1)$ 的餘式為 $ax^3+bx^2+cx+d$，試求有序數對 $(a,b,c,d)=\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：(a,b,c,d)=(0,-2,-1,-3)$
$\boxed{解}：$
1. 先由迭代法求 $x^{2023}-1$ 除以 $x^3-1$ 的餘式；
$x^{2023}-1=(x^3)^{674}\cdot x-1$，令 $x^3=1$ 代入，則餘式為 $x-1$，
由除法原理，
$x^{2023}-1=(x^3-1)Q(x)+(x-1)$
$x^{2023}-1=(x-1)(x^2+x+1)Q(x)+(x-1)$
因此可得 $x^{2023}-1$ 除以 $x^2+x+1$ 的餘式亦為 $x-1$。
1. 由除法原理，假設
$x^{2023}-1=(x^2+x+1)(x^2+1)Q(x)+(x^2+x+1)(px+q)+x-1$
1. 再次利用迭代法，$x^{2023}-1=(x^2)^{1011}\cdot x-1$，令 $x^2=-1$ 代入，則
$-x-1=x(px+q)+(x-1)$
$-x-1=px^2+qx+x-1$
繼續迭代 $x^2=-1$ 代入
$-x-1=-p+qx+x-1$
$-x-1=(q+1)x+(-p-1)$
因此 $q=-2，p=0$

所求餘式為 $(x^2+x+1)(-2)+(x-1)=-2x^2-x-3$
$(a,b,c,d)=(0,-2,-1,-3)$