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title: 挑戰題 5.
tags: [直線與圓]

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###### tags: `直線與圓`

# 挑戰題 5. 
已知 $\Delta ABC$ 中，點 $A(3,-1)$，$\overline{AB}$ 邊上的中線所在的直線方程式是 $6x+10y-59=0$，$\angle ABC$ 的角平分線所在的直線方程式為 $x-4y+10=0$，試求 $\overline{BC}$ 所在的直線方程式 $\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：2x+9y-65=0$
$\boxed{解}：$作一個簡圖，
![挑戰題5.簡圖](https://i.imgur.com/aZKofhB.png =450x)
$B$ 在 $x-4y+10=0$ 上，
可假設 $B(4t-10,t)$
$D$ 為 $\overline{AB}$ 中點，
因此 $\begin{align}D(\frac{4t-7}{2},\frac{t-1}{2})\end{align}$
$D$ 在 $6x+10y-59=0$ 上，因此
$\begin{align}6\cdot\frac{4t-7}{2}+10\cdot\frac{t-1}{2}-59=0\Rightarrow t=5\Rightarrow B(10,5)\end{align}$
則 $\overline{AB}$ 所在的直線斜率為 $\begin{align}\frac{5-(-1)}{10-3}=\frac{6}{7}\Rightarrow 6x-7y-25=0\end{align}$
設 $\overline{BC}$ 所在的直線方程式斜率為 $m$
方程式設為 $mx-y-10m+5=0$
在 $x-4y+10=0$ 上任意選取一點 $P(2,3)$，
則 $P$到 $6x-7y-25=0$ 的距離 $=$ $P$ 到 $mx-y-10m+5=0$

$\begin{align}\frac{|\;6\cdot 2-7\cdot 3-25\;|}{\sqrt{6^2+7^2}}=\frac{|\;m\cdot 2-3-10m+5\;|}{\sqrt{m^2+1}}\end{align}$

（請自己兩邊平方計算）
得到 $\begin{align}m=-\frac{2}{9}，\frac{6}{7}\end{align}$
而 $\begin{align}m=\frac{6}{7}\end{align}$ 是指 $\overline{AB}$ 的那一條線，
於是 $\overline{BC}$ 斜率為 $\begin{align}m=-\frac{2}{9}\end{align}$
$\overline{BC}$ 所在的直線方程式 $2x+9y-65=0$