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title: 證明題 1.
tags: [數與式]

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###### tags: `數與式`
# 證明題 1. 

假設 $a,b\in\mathbb{R}$，$a\neq 0$，$b\neq 0$，已知對所有正整數 $n\geq 2$，$a^n+b^n\in\mathbb{Q}$ 恆成立，試證明 
(1)$ab\in\mathbb{Q}$ 
(2)$a+b\in\mathbb{Q}$
(3)判斷 $a,b\in\mathbb{Q}$ 是否成立？若成立，請證明之；若不成立，請舉一個反例，並說明反例使其不成立。

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(1) $\boxed{證}：$

$\begin{align}a^2b^2=\frac{1}{2}\left[(a^2+b^2)^2-(a^4+b^4)\right]\in\mathbb{Q}\end{align}$

$\begin{align}a^3b^3=\frac{1}{2}\left[(a^3+b^3)^2-(a^6+b^6)\right]\in\mathbb{Q}\end{align}$

因此 $\begin{align}ab=\frac{a^3b^3}{a^2b^2}\in\mathbb{Q}\end{align}$

(2) $\boxed{證}：$

$\begin{align}a+b=\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}\in\mathbb{Q}\end{align}$

(3) $\boxed{證}：$

取 $a=1+\sqrt{2}$，$b=1-\sqrt{2}$
則 $a+b=2$，$ab=-1$
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=6\in\mathbb{Q}$
$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=14\in\mathbb{Q}$
$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})$
由數學歸納法得知 $a^n+b^n\in\mathbb{Q}$，對所有的正整數 $n\geq 2$，恆成立，
但 $a,b\notin\mathbb{Q}$。



