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$\begin{align}\end{align}$
# 算術平均、幾何平均、調和平均

$$x，y，\frac{x+y}{2}， \sqrt{xy}， \frac{2xy}{x+y}五個數均為正整數，且總和為49。求x之值。$$─建中通訊解題第117期問題編號11702

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設 $a=\frac{x+y}{2}， b=\sqrt{xy}， c=\frac{2xy}{x+y}， a+b+c=49$，

(1) 由算幾不等式可知 $a\geqslant b \geqslant c$

(2) $c=\frac{2xy}{x+y}=\frac{b^2}{a} \Rightarrow b^2=ac \Rightarrow a,b,c$三數成等比，且$b$為等比中項

因此假設 $a,b$的最大公因數為$d\Rightarrow$存在$h,k$, 使得 $a=dh，b=dk，(h,k)=1，h\geqslant k$

代入 $a+b+c=49 \Rightarrow dh+dk+\frac{d^{\not 2}k^2}{\not dh}=49$

觀察到 $\frac{dk^2}{h}$ 為整數，而 $(h,k)=1$，所以 $h|d \Rightarrow d=hd'$ 再重新代入上式，

$d'(h^2+hk+k^2)=49$

| Case 1. $d'=1$ | Case 2. $d'=7$ |
| -------- | -------- |
| $h^2\leqslant h^2+hk+k^2=49\leqslant 3h^2$ | $h^2\leqslant h^2+hk+k^2=7\leqslant 3h^2$ |
|所以$5\leqslant h\leqslant 7$|所以$h=2，k^2+2k-3=0\Rightarrow k=1$ |
|若$h=5，k^2+5k-24=0 \Rightarrow k=3$ | |
|若$h=6，k^2+6k-13=0\Rightarrow k\not\in\mathbb{N}$|
|若$h=7，k^2+7k=0\Rightarrow k\not\in\mathbb{N}$|

綜合以上討論，
$$(d,h,k)=(5,5,3)時，
\left \{
\begin{matrix}
\frac{x+y}{2}=a=dh=25\\
\sqrt{xy}=b=dk=15
\end{matrix}
\right .
\Rightarrow
\left \{
\begin{matrix}
x+y=50\\
xy=225
\end{matrix}
\right .
$$

$x，y$為方程式 $t^2-50t+225=0\Rightarrow (x,y)=(45,5)， (5,45)$

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$$(d,h,k)=(14,2,1)時,
\left \{
\begin{matrix}
\frac{x+y}{2}=a=dh=28\\
\sqrt{xy}=b=dk=14
\end{matrix}
\right.
\Rightarrow
\left\{
\begin{matrix}
x+y=56\\
xy=196
\end{matrix}
\right.
$$

$x，y$為方程式 $t^2-56t+196=0 \Rightarrow x，y\not\in\mathbb{N}$

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## $a，b$ 為大於 $1$ 的實數，求 $\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}$ 的最小值。

令 $x=a-1$，$y=b-1$，則 $x>0，y>0$
所求
$\begin{align} & \frac{(x+1)^2}{y}+\frac{(y+1)^2}{x}\\
& =\frac{x^2+2x+1}{y}+\frac{y^2+2y+1}{x}\\
& =\left(\frac{x^2+1}{y}+\frac{y^2+1}{x}\right)+\left(\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}\right)\end{align}$

此時，
$\begin{align}\frac{x^2+1}{y}+\frac{y^2+1}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x^2+1}{y}\cdot\frac{y^2+1}{x}}=2\sqrt{\frac{x^2+1}{x}\cdot\frac{y^2+1}{y}}=2\sqrt{(x+\frac{1}{x})\cdot(y+\frac{1}{y})}\geq 2\sqrt{2\cdot 2}=4\end{align}$
且
$\begin{align}\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{x}}=2\sqrt{4}=4\end{align}$

故原式
$\begin{align} \left(\frac{x^2+1}{y}+\frac{y^2+1}{x}\right)+\left(\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}\right)\geq 4+4=8\end{align}$

並檢查各不等式等號成立的條件：

1. $\begin{align}\frac{x^2+1}{y}+\frac{y^2+1}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x^2+1} {y}\cdot\frac{y^2+1}{x}}\end{align}$ 等號成立的條件為
$\begin{align}\frac{x^2+1}{y}=\frac{y^2+1}{x}\Rightarrow x^3+x=y^3+y\Rightarrow (x^3-y^3)+(x-y)=0\Rightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+1)=0\end{align}$
但 $x^2+xy+y^2+1=(x-y)^2+3xy+1>0$，所以 $x-y=0\Rightarrow x=y$
2. $x+\frac{1}{x}\geq 2$ 等號成立的條件為 $x=1$，同理，$y+\frac{1}{y}\geq 2$ 等號成立的條件為 $y=1$，因此 $x=y=1\Rightarrow a=b=2$，而後續的算幾不等式的等號也都因為 $x=y$ 得以成立。