# Eirc & Sophie

6. $a，b$ 為自然數，且 $a>b$ ，$(a+b)+(a-b)+ab+\frac{a}{b}=450$，則 $(a,b)=？$
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由已知條件可知，$\frac{a}{b}$ 為整數 $\Rightarrow b$ 為 $a$ 的因數

設 $a=bk$ 代入已知條件，

$2bk+b^2k+k=450 \Rightarrow k(b+1)^2=450=2\cdot 3^2\cdot 5^2$

$(b+1，k)=(3，50)、(5，18)、(15，2)$

$\Rightarrow(a，b)=(100，2)、(72，4)、(28，14)$

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7. 解方程組 $\left \{
\begin{matrix}
\frac{xy}{x+y}=\frac{1}{2}\\
\frac{yz}{y+z}=\frac{1}{3}\\
\frac{xz}{x+z}=\frac{1}{3}
\end{matrix}
\right .$

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$\left \{
\begin{matrix}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\\
\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\\
\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=3
\end{matrix}
\right . \Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\Rightarrow\frac{1}{x}=1，\frac{1}{y}=1，\frac{1}{z}=2$

$\Rightarrow (x,y,z)=(1,1,\frac{1}{2})$

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4. 已知 $\Delta ABC$ 三邊長為 $\sqrt{5}，\sqrt{13}，4$，求面積。
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$\left \{
\begin{matrix}
a^2+b^2=5\\
b^2+c^2=13\\
a^2+c^2=16
\end{matrix}
\right .\Rightarrow a^2+b^2+c^2=17\Rightarrow (a^2，b^2，c^2)=(4，1，12)$

$\Delta ABC$ 面積 $=\frac{1}{2}\sqrt{4\times1+1\times12+12\times 4}=4$

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3. 已知直角三角形兩股長為整數，並且滿足 $x^2-(m+2)x+4m=0$ 求 $m$？
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判別式 $=(m+2)^2-16m=m^2-12m+4=n^2$

$(m-6)^2-n^2=32 \Rightarrow (m+n-6)(m-n-6)=32$

$m=15$ 或 $12$

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9. 設 $a，b$ 為兩整數，若

$\left \{
\begin{matrix}
x^2-ax+817=0\\
x^2-bx+3553=0
\end{matrix}
\right .$ 有一個共同質數根，則 $a+b=$？

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$(817，3553)=(19\times43，19\times11\times17)$

$a+b=19+43+19+187=268$

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10. 設 $x$，$\sqrt{x+4}$，$\sqrt{x+2008}$ 均為正整數，求 $x$

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$\left \{
\begin{matrix}
x+4=m^2\\
x+2008=n^2
\end{matrix}
\right .\Rightarrow (n+m)(n-m)=2004=2^2\cdot 3\cdot 167$

$\left \{
\begin{matrix}
n+m=334\\
n-m=6
\end{matrix}
\right .$ 或 $\left \{
\begin{matrix}
n+m=1002\\
n-m=2
\end{matrix}
\right .$

$m=164$ 或 $500\Rightarrow x=164^2-4=26892$ 或 $x=500^2-4=249996$

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11. $a，b$ 為實數，則 $\sqrt{a^2+(b-1)^2}+\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{(a-3)^2+(b-4)^2}$ 的最小值

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幾何意義來看，

$(a，b)$ 到 $(0，0)、(1，0)、(0，1)、(3，4)$ 的距離和的最小值，

發生在兩直線的交點 $(\frac{3}{7}，\frac{4}{7})$

此時的最小值為 $(0，0)$ 到 $(3，4)$ 的距離 $+ (1，0)$ 到 $(0，1)$ 的距離 = $5+\sqrt{2}$

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12. 設 $f(n)=\frac{2n-1+\sqrt{n(n-1)}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$，求 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2010)$ 之值

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$f(n)=\sqrt{n^3}-\sqrt{(n-1)^3}$

$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2010)=\sqrt{2010^3}=2010\sqrt{2010}$