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title: 挑戰題 2.
tags: [數與式]

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###### tags: `數與式`
# 挑戰題 2. 

假設 $a>b>c>0$，試求 $\begin{align}2a^2+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2\end{align}$ 的最小值為 $\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：4$
$\boxed{解}：$明顯地，$a^2-10ac+25c^2=(a-5c)^2$
因此當 $a=5c$ 時，會有最小值，
於是只需要討論 $\begin{align}a^2+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}\end{align}$ 的最小值即可；
$\begin{align}a^2+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}\end{align}$
$\begin{align}=a^2+\frac{a-b+b}{ab(a-b)}\end{align}$
$\begin{align}=a^2+\frac{1}{b(a-b)}\end{align}$
由算幾不等式，$\begin{align}\frac{b+(a-b)}{2}\geq\sqrt{b(a-b)}\end{align}$
$\begin{align}\Rightarrow \frac{a^2}{4}\geq b(a-b)\Rightarrow\frac{1}{b(a-b)}\geq\frac{4}{a^2}\end{align}$ 代回原式，
$\begin{align}\geq a^2+\frac{4}{a^2}\geq2\sqrt{4}=4\end{align}$
驗算算幾不等式等號成立的條件：
當 $\begin{align}a^2=\frac{4}{a^2}\Rightarrow a=\sqrt{2}\end{align}$ 
且當 $\begin{align}b=(a-b)\Rightarrow b=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align}$
$\begin{align}c=\frac{a}{5}=\frac{\sqrt{2}}{5}\end{align}$
此時原式會有最小值 $4$






















