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# 挑戰題 7.
面積 $18$ 的平行四邊形由 $y=ax+c$，$y=ax+d$，$y=bx+c$，$y=bx+d$ 圍成；面積為 $72$ 的平行四邊形由 $y=ax+c$，$y=ax-d$，$y=bx+c$，$y=bx-d$ 圍成。若 $a，b，c，d\in\mathbb{N}$，試求 $a+b+c+d$ 可能的最小值 $\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：16$
$\boxed{解}：$作一個簡圖，可以觀察到，
$a，b$ 的大小關係並無差異，只需要討論 $c，d$ 的大小畫圖即可。
設點 $A$ 為 $\left\{\begin{align}y=ax+c \\ y=bx+d\end{align}\right.$ 的交點$\begin{align}\Rightarrow x=\frac{d-c}{a-b}\end{align}$
$\Delta ABC$ 的面積 $\begin{align}=9=\frac{1}{2}\cdot |d-c|\cdot\frac{|d-c|}{|a-b|}\Rightarrow\frac{|d-c|^2}{|a-b|}=18\end{align}$

設點 $E$ 為 $\left\{\begin{align}y=ax+c \\ y=bx-d\end{align}\right.$ 的交點$\begin{align}\Rightarrow x=\frac{d+c}{b-a}\end{align}$
$\Delta ECD$ 的面積 $\begin{align}=36=\frac{1}{2}\cdot |d+c|\cdot\frac{|d+c|}{|a-b|}\Rightarrow\frac{|d+c|^2}{|a-b|}=72\end{align}$

因此 $\begin{align} 4(d-c)^2=(d+c)^2\end{align}$ [^註1]

[^註1]: 其實不難發現，兩個平行四邊形是相似的，
而面積比 $=$ 邊長的平方比 $=$ 對角線長的平方比，
因此就可以快速得到 $\begin{align}\frac{(c-d)^2}{(c+d)^2}=\frac{1}{4}\end{align}$
但由於後續的計算還需要求 $a、b$，
因此仍需要回歸上述的方法。

$3d^2-10dc+3c^2=0\Rightarrow (3d-c)(d-3c)=0\Rightarrow c=3d，d=3c$
先計算 $d=3c$，代入 $\begin{align}\frac{|d-c|^2}{|a-b|}=18\Rightarrow 2c^2=9|a-b|\Rightarrow c\end{align}$ 為 $3$ 的倍數，
令 $c=3m$，則 $|a-b|=2m^2\Rightarrow a=2m^2+b$
因此 $a+b+c+d=2m^2+2b+3m+9m$ 最小值發生在 $b=m=1$ 時，
$a+b+c+d=16$，此時 $(a,b,c,d)=(3,1,3,9)$

$c=3d$ 時同理。