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title: 證明題 3.
tags: [數與式]

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###### tags: `數與式`
# 證明題 3.

假設 $a_n$ 表示 $1^2+2^2+\cdots+n^2$ 的個位數，其中 $n=1, 2, 3,\cdots$，試證明：$0.a_1a_2\cdots a_n\cdots$ 是有理數。

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$\boxed{證}$：$1^2, 2^2, \cdots 10^2$ 的個位數字分別為
$1、4、9、6、5、6、9、4、1、0$
總和為 $45$，每 $20$ 項的總和為 $90$，
也就是 $a_{20}=0$，$a_{40}=0$，$\cdots$ 每 $20$ 項一循環，
故此數為循環小數，即為有理數。

:::warning
觀察到了嗎？
個位數字和是 $10$ 的數，
它們平方後的個位數字都相同。
例如：$1$ 和 $9$、$2$ 和 $8$、$\cdots$
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