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title: 證明題 5.
tags: [數與式]

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###### tags: `數與式`
# 證明題 5.
$\begin{align}\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\cdots+\frac{x_n}{x_1}=0\end{align}$，其中 $x_i$ 是 $1$ 或 $-1$，$i=1, 2,\cdots n$。求證：$n$ 是 $4$ 的倍數。

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$\boxed{證}：$

設 $\begin{align}\frac{x_1}{x_2}，\frac{x_2}{x_3}，\cdots，\frac{x_n}{x_1}\end{align}$ 這 $n$ 個數中，

有 $a$ 個數為 $1$，有 $b$ 個數為 $-1$

那麼 $\begin{align}a+b=n，a-b=0\Rightarrow a=b=\frac{n}{2}\end{align}$

又 $\begin{align}\frac{x_1}{x_2}\cdot\frac{x_2}{x_3}\cdots\frac{x_n}{x_1}=1\end{align}$

所以 $\begin{align}1^\frac{n}{2}\cdot(-1)^\frac{n}{2}=1\end{align}$

表示 $\begin{align}\frac{n}{2}\end{align}$ 也是偶數，因此 $n$ 為 $4$ 的倍數。