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title: 元翊問題
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# 元翊問題

## 0605

261. 甲、乙兩人合資共養了 $n$ 頭豬，今每頭豬以 $n$ 元的價格全部賣掉，然後兩人用下面的方法分錢：甲先拿 $10$ 元，再由乙拿 $10$ 元，再由甲拿 $10$ 元，$\cdots$，如此輪流；拿到最後，剩下不足十元輪到乙拿去。為了公平分配，甲應該補給乙多少元？

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$\boxed{答}$：$2$ 元
$\boxed{解}$：所賣出的錢總共是 $n^2$ 元，
依照這樣的分錢方式，
最後是輪到乙拿剩下不足 $10$ 元的錢，
可知道 $n^2$ 的十位數字是奇數，
然而 $1^2，2^2，\cdots，9^2$ 中，只有
$4^2=16，6^2=36$ 的十位數字是奇數，
而 $4^2$、$6^2$ 除以 $10$ 的餘數均為 $6$，
因此 乙拿到 $6$ 元，
為公平起見，甲要補給乙 $2$元。

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277. 若 $f(x)$ 除以 $2x-1$ 的餘式為 $3$，$f(x)$ 除以 $x+2$ 的餘式為 $-2$，求 $f(x)$ 除以 $(2x-1)(x+2)$ 的餘式為何？

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$\boxed{答}$：$2x+2$
$\boxed{解}$：由除法原理，被除式 $=$ 除式 $\times$ 商式 $+$ 餘式，
$f(x)=(2x-1)Q_1(x)+3\Rightarrow f(\frac{1}{2})=3$；
$f(x)=(x+2)Q_2(x)+(-2)\Rightarrow f(-2)=-2$；
設 $f(x)=(2x-1)(x+2)Q_3(x)+(ax+b)$
$f(\frac{1}{2})=3$、$f(-2)=-2$ 代入解聯立，

$\left\{\begin{align}\frac{1}{2}a+b &=3\\ -2a+b &=-2\end{align}\right.\Rightarrow a=2，b=2$

$\boxed{解}$：設 $f(x)$ 除以 $(2x-1)(x+2)$ 的餘式為 $a(2x-1)+3$
令 $x=-2$ 代入，得 $a\cdot(-5)+3=-2\Rightarrow a=1$
因此所求餘式為 $2x+2$








