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# 證明題 3.
假設 $a，b，c$ 為實數，其中 $abc\neq 0$，$b\neq c$，$a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0$ 有兩個相等實根，試求 $a，b，c$ 滿足什麼關係式？

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$\boxed{答}：\begin{align}\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{a}、\frac{1}{b}、\frac{1}{c}\end{align}$ 為等差數列
$\qquad\;\;\Rightarrow a、b、c$ 為調和數列
$\boxed{證}：$有兩相等實根，則判別式 $=0$
$b^2(c-a)^2-4ac(b-c)(a-b)=0$
$(b^2(c-a)^2+4ac\cdot b^2)-4ac(ab+bc-ac)=0$
$b^2(c+a)^2-4ac(ab+bc)+(2ac)^2=0$
$(ab+bc)^2-2\cdot2ac\cdot(ab+bc)+(2ac)^2=0$
$(ab+bc-2ac)^2=0$
$ab+bc-2ac=0$
移項後，同除 $abc$
$\begin{align}\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{2}{b}\end{align}$
表示 $\begin{align}\frac{1}{a}、\frac{1}{b}、\frac{1}{c}\end{align}$ 為等差數列
$\begin{align}a、b、c\end{align}$ 為調和數列。