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title: 證明題 2.
tags: [數與式]

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###### tags: `數與式`
# 證明題 2. 

假設 $a,b$ 與 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 都是整數，試證明：$\sqrt{a}$ 與 $\sqrt{b}$ 均為整數。

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$\boxed{證}：$ 設 $\sqrt{a}+\sqrt{b}=n\in\mathbb{N}$，
$a=n^2-2n\sqrt{b}+b$
$\begin{align}\Rightarrow\sqrt{b}=\frac{n^2+b-a}{2n}\in\mathbb{Q}\end{align}$

若 $\begin{align}\sqrt{b}\notin\mathbb{N}\end{align}$ 則 $b\notin\mathbb{N}$，矛盾，
因此 $\sqrt{b}\in\mathbb{N}$，同理 $\sqrt{a}\in\mathbb{N}$。

:::warning
這個證明主要是擔心，
$\sqrt{a}$ 與 $\sqrt{b}$ 
兩數均為無理數，
而相加為整數的情況。
透過運算我們知道，
$\sqrt{b}$ 為有理數，
因此一切就變得簡單了。
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