###### tags: `多項式`

# 證明題 1.

設 $f(x)$ 為整係數多項式，且 $f(0)、f(1)$ 均為奇數，求證 $f(x)=0$ 沒有整數根。

---

$\boxed{證}：$
假設 $f(x)=0$ 有整數根 $a$，
則 $f(x)=(x-a)Q(x)$，$Q(x)$ 為整係數多項式，
由已知，$f(0)=-aQ(0)$ 為奇數，
且 $f(1)=(1-a)Q(1)$ 為奇數，
但 $a$ 與 $1-a$ 之間必有一個為偶數，
因此與「$f(0)、f(1)$ 均為奇數」矛盾，
則 $f(x)=0$ 沒有整數根。