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title: 挑戰題 3.
tags: [直線與圓]

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###### tags: `直線與圓`
# 挑戰題 3. 
光線沿著直線 $x-y+1=0$ 行進，遇到直線 $2x+y-4=0$ 反射，試求反射光線所在的直線方程式 $\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：x-7y+13=0$
$\boxed{解}：$ 先畫一個簡圖，
直線 $x-y+1=$ 的法向量為 $(1,-1)$，
方向向量為 $\overrightarrow{T_1}=(1,1)$
直線 $2x+y-4=0$ 的法向量為 $\overrightarrow{N}=(2,1)$
兩線交點 $A(1,2)$
設反射光線所在的直線方向向量為 $\overrightarrow{T_2}=(a,b)$

![挑戰題3.簡圖](https://i.imgur.com/8w4yh75.png =350x)

因為向量 $\overrightarrow{N}$ 平分 $\overrightarrow{T_1}$ 與 $\overrightarrow{T_2}$ 的夾角，
所以取 $|\overrightarrow{T_1}|=|\overrightarrow{T_2}|\Rightarrow a^2+b^2=2$，
且 $\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}$ 與 $\overrightarrow{N}$ 平行，$\Rightarrow \begin{align}\frac{a+1}{b+1}=\frac{2}{1}\end{align}$
$\begin{align}\Rightarrow a=\frac{7}{5}，b=\frac{1}{5}\end{align}$
因此反射光線的方向向量可以取 $(7,1)$，法向量取 $(1,-7)$
又通過點A $(1,2)$，得方程式為 $x-7y+13=0$