---
# System prepended metadata

title: 挑戰題 10.
tags: [直線與圓]

---

###### tags: `直線與圓`

# 挑戰題 10. 
平面上有兩點 $A(-1,0)$、$B(1,0)$，試求在圓$(x-3)^2+(y-4)^2=4$ 上取一點 $P=\underline{\qquad\qquad}$，使得 $\overline{AP}^2+\overline{BP}^2$ 有最小值。

---
$\boxed{答}：\begin{align}(\frac{9}{5},\frac{12}{5})\end{align}$
$\boxed{解}：$作一個簡圖
![挑戰題10.簡圖](https://i.imgur.com/7QU8n9H.png =250x)
由中線平方定理，
$\begin{align}\overline{PA}^2+\overline{PB}^2=2(\overline{PO}^2+1)\end{align}$
當 $P$ 在 $\overline{OC}$ 上時，$\overline{PO}$ 會有最小值 $\overline{OC}-\overline{PC}=5-2=3$
$\begin{align}\overline{PA}^2+\overline{PB}^2=2(\overline{PO}^2+1)\geq 20\end{align}$
$P$ 點坐標可用分點公式得到 $\begin{align}(\frac{9}{5},\frac{12}{5})\end{align}$