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# 數與式

## 挑戰題 1.

已知 $x,y$ 為實數，且 $x\neq y$，試化簡
$\sqrt{2\sqrt{xy}-x-y}=\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 2.

假設 $a>b>c>0$，試求 $\begin{align}2a^2+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2\end{align}$ 的最小值為 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 3.

試求 $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 4.

假設 $x,y>0$，且 $\sqrt{x^2+\sqrt[3]{x^4y^2}}+\sqrt{y^2+\sqrt[3]{x^2y^4}}=8$，試求 $x^\frac{2}{3}+y^\frac{2}{3}=\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 5.

假設正數 $a$ 的小數部份為 $b$，且 $a+b^2=n$，$n\in\mathbb{N}$，試求 $b=\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 6.

$x\in\mathbb{R}$，若 $|2x+3|+|2-3x|=|5x+1|$ 恆成立，求 $x$ 的範圍$\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 7.

假設 $2021x^3=2022y^3=2023z^3$，其中 $xyz>0$，且 $\sqrt[3]{2021x^2+2022y^2+2023z^2}=\sqrt[3]{2021}+\sqrt[3]{2022}+\sqrt[3]{2023}$，試求 $\begin{align}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\underline{\qquad\qquad}\end{align}$

## 挑戰題 8.

試求有序數對 $(x,y,z)=\underline{\qquad\qquad}$ ，滿足 $\begin{align}\sqrt{x+\frac{1}{2}}+\sqrt{y-4}+\sqrt{z^2+1}=\frac{1}{2}(x+y+z^2+\frac{1}{2})\end{align}$

## 挑戰題 9.
$n$ 為不大於 $2023$ 的正整數，且使 $\begin{align}\left|\frac{nx}{2023}-1\right|<\frac{n}{2023}\end{align}$，恰有兩個整數解，若滿足此條件的 $n$ 有 $m$ 個，試求 $m$ 之值為 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 10.

已知 $n$ 是自然數，若 $\begin{align}\frac{n}{71}=0.\overline{a_1a_2a_3a_449a_7a_8\cdots a_{35}}\end{align}$，試求 $n$ 值為 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 證明題 1.

假設 $a,b\in\mathbb{R}$，$a\neq 0$，$b\neq 0$，已知對所有正整數 $n\geq 2$，$a^n+b^n\in\mathbb{Q}$ 恆成立，試證明
(1)$ab\in\mathbb{Q}$
(2)$a+b\in\mathbb{Q}$
(3)判斷 $a,b\in\mathbb{Q}$ 是否成立？若成立，請證明之；若不成立，請舉一個反例，並說明反例使其不成立。

## 證明題 2.

假設 $a,b$ 與 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 都是整數，試證明：$\sqrt{a}$ 與 $\sqrt{b}$ 均為整數。

## 證明題 3.

假設 $a_n$ 表示 $1^2+2^2+\cdots+n^2$ 的個位數，其中 $n=1, 2, 3,\cdots$，試證明：$0.a_1a_2\cdots a_n\cdots$ 是有理數。

## 證明題 4.

東中高三共 $14$ 個班級舉行畢業籃球賽，每個班級均要與其他 $13$ 個班級進行一場比賽。已知籃球賽沒有和局，若用 $a_i$ 與 $b_i$ 分別表示該班級在整個比賽過程中的勝場與敗場，試證明：$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{14}^2=b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{14}^2$。

## 證明題 5.
$\begin{align}\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\cdots+\frac{x_n}{x_1}=0\end{align}$，其中 $x_i$ 是 $1$ 或 $-1$，$i=1, 2,\cdots n$。求證：$n$ 是 $4$ 的倍數。