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title: 挑戰題 3.
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###### tags: `多項式`

# 挑戰題 3. 
設 $f(x)$ 為 $2022$ 次多項式，且對於 $k=0,1,2,\cdots,2022$，滿足 $\begin{align}f(k)=\frac{k}{k+1}\end{align}$，試求 $f(2023)=\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：\begin{align}\frac{1011}{1012}\end{align}$
$\boxed{解}：$ 由已知
$\begin{align}f(k)=\frac{k}{k+1}\Rightarrow (k+1)f(k)-k=0\end{align}，k=0,1,2,\cdots,2022$
這個條件，意思是
$(x+1)f(x)-x$ 是一個 $2023$ 次的多項式，且這個多項式的 $2023$ 個根分別為 $0,1,2,\cdots,2022$
因此假設為
$(x+1)f(x)-x=a\cdot x\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)\cdots(x-2022)$
令 $x=-1$ 代入，則
$1=a\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\cdots(-2023)$
$\begin{align}\Rightarrow a=-\frac{1}{2023!}\end{align}$
令 $x=2023$ 代入
$\begin{align}2024f(2023)-2023=-\frac{1}{2023!}\cdot2023\cdot2022\cdot2021\cdots1\end{align}$
$\Rightarrow 2024f(2023)-2023=-1$
$\begin{align}\Rightarrow f(2023)=\frac{2022}{2024}=\frac{1011}{1012}\end{align}$