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title: 挑戰題 3.
tags: [數與式]

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###### tags: `數與式`
# 挑戰題 3. 

試求 $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：4$
$\boxed{解}：$ 令 $x=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}$， $y=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$
所求即為 $x+y=a$
又 $xy=\sqrt[3]{(20+14\sqrt{2})(20-14\sqrt{2})}$
$=\sqrt[3]{20^2-(14\sqrt{2})^2}$
$=\sqrt[3]{400-196\cdot 2}$
$=\sqrt[3]{8}$
$=2$
$x^3+y^3=(20+14\sqrt{2})+(20-14\sqrt{2})=40$

因此由乘法公式，
$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$
$\Rightarrow 40=a^3-6a$
$a^3-6a-40=0$
此時，$a=4$ 代入符合方程式，
表示該方程式有 $a-4$ 的因式，
將其因式分解，得到
$(a-4)(a^2+4a+10)=0$
$\Rightarrow a=4$ 或 $a^2+4a+10=0$（無實數解，不合）
