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# 直線與圓

## 挑戰題 1.
假設過 $P(3,2)$ 作直線與 $x$ 軸正向和 $y$ 軸正向分別交於 $A$，$B$ 兩點，試求使 $\overline{PA}\cdot\overline{PB}$ 發生最小值的直線方程式 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 2.
假設 $\Delta ABC$ 的頂點 $A(-4,2)$，兩條中線所在的直線方程式為 $3x-2y+2=0$ 與 $3x+5y-12=0$，試求直線 $BC$ 的方程式 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 3.
光線沿著直線 $x-y+1=0$ 行進，遇到直線 $2x+y-4=0$ 反射，試求反射光線所在的直線方程式 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 4.
假設過 $P(4,2)$ 作直線 $L_1$、$L_2$與 $x$ 軸正向和 $y$ 軸正向分別交於 $A(a,0)$，$B(0,b)$ 兩點，且 $a$，$b$ 為整數，若 $O$ 為原點，直線 $AB$ 平分四邊形 $OAPB$ 的面積，試求直線 $AB$ 的方程式$\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 5.
已知 $\Delta ABC$ 中，點 $A(3,-1)$，$\overline{AB}$ 邊上的中線所在的直線方程式是 $6x+10y-59=0$，$\angle ABC$ 的角平分線所在的直線方程式為 $x-4y+10=0$，試求 $\overline{BC}$ 所在的直線方程式 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 6.
試求過直線 $x+2y-8=0$ 與 $2x-y-1=0$ 的交點，且被兩直線 $L_1:3x+4y-7=0$ 與 $L_2:3x+4y+8=0$ 所截得的線段長為 $3\sqrt{2}$ 的直線 $L$ 方程式 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 7.
面積 $18$ 的平行四邊形由 $y=ax+c$，$y=ax+d$，$y=bx+c$，$y=bx+d$ 圍成；面積為 $72$ 的平行四邊形由 $y=ax+c$，$y=ax-d$，$y=bx+c$，$y=bx-d$ 圍成。若 $a，b，c，d\in\mathbb{N}$，試求 $a+b+c+d$ 可能的最小值 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 8.
已知 $\Delta ABC$ 中，點 $B(3,4)$，$\overline{AB}$ 邊上的高所在直線的方程式是 $2x+3y-16=0$，$\overline{BC}$ 邊上中線所在直線的方程式是 $2x-3y+1=0$，試求$\overline{AC}$ 所在的直線方程式為 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 9.
過點 $P(1,2)$ 且與兩軸在第一象限內所圍成的 $\Delta$ 有最小面積 $m$ 時之直線，其方程式為 $\underline{\qquad\qquad}$，求 $m=\underline{\qquad\qquad}$

## 挑戰題 10.
平面上有兩點 $A(-1,0)$、$B(1,0)$，試求在圓$(x-3)^2+(y-4)^2=4$ 上取一點 $P=\underline{\qquad\qquad}$，使得 $\overline{AP}^2+\overline{BP}^2$ 有最小值。

## 挑戰題 11.
圓 $C:(x-4)^2+(y-3)^2=1$，直線 $L:y=\sqrt{3}x$，在圓 $C$ 上取一點 $P$，直線 $L$ 上取一點 $Q$，$x$ 軸上取一點 $R$，試求 $\Delta PQR$ 的最小周長為
$\underline{\qquad\qquad}$

## 證明題 1.

已知 $\overline{AB}$ 為圓 $C_1$ 的直徑，半徑為 $r$ 的圓 $C_2$ 與 $C_1$ 內切且與 $\overline{AB}$ 切於 $D$ 點，試證明 $\begin{align}\frac{1}{r}=\frac{1}{\overline{AD}}+\frac{1}{\overline{DB}}\end{align}$

## 證明題 2.

己知 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$ 為圓的兩切線，且切於 $A$，$B$ 兩點，過 $P$ 的直線交圓於 $C$、$D$ 兩點，與弦 $\overline{AB}$ 交於 $Q$，試證明：$\overline{PQ}^2=\overline{PC}\cdot\overline{PD}-\overline{QC}\cdot\overline{QD}$