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title: 挑戰題 5.
tags: [數與式]

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###### tags: `數與式`
# 挑戰題 5. 

假設正數 $a$ 的小數部份為 $b$，且 $a+b^2=n$，$n\in\mathbb{N}$，試求 $b=\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：0$ 或 $\begin{align}\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{align}$
$\boxed{解}：$ 假設 $a$ 的整數部份為 $k$，小數部份為 $b$，
所以 $a=k+b$
因為 $0\leq b<1$，所以 $n=k$ 或 $k+1$
(1) 若 $n=k$，則 $b=0$；
(2) 若 $n=k+1$，則 $k+b+b^2=k+1$
$\Rightarrow b^2+b-1=0$
$\Rightarrow\begin{align}b=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\end{align}$
因為$\begin{align}b=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<0\end{align}$不合，因此$\begin{align}b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{align}$