###### tags: `數學問題`
# 宥霆問題

$\begin{align}x^2-5x=3p^2+p+24\end{align}$，$p$ 為質數，求整數解。

---
$\begin{align}x^2-5x-24=3p^2+p\end{align}$
$\begin{align}(x-8)(x+3)=p(3p+1)\end{align}$

(1)
若 $p|(x-8)$，則 $x-8=pk$，$\begin{align}x+3=\frac{3p+1}{k}\end{align}$
$x=pk+8$ 代入 $\begin{align}pk+11=\frac{3p+1}{k}\Rightarrow p=\frac{-11k+1}{k^2-3}\end{align}$
$(k^2-3)|(-11k+1)$，$(k^2-3)|[(-11k+1)\cdot k+11\cdot(k^2-3)]\Rightarrow (k^2-3)|(k-33)$
$\Rightarrow (k^2-3)|[11\cdot(k-33)+(-11k+1)]\Rightarrow (k^2-3)|(-362)$
$\Rightarrow k^2-3=\pm1, \pm2, \pm 181, \pm 362$
$\Rightarrow k^2=1$ 或 $k^2=4$
$\Rightarrow k=1$ 或 $k=-2$
$\Rightarrow p=5$ 或 $p=23$
$\Rightarrow x=13$ 或 $x=-38$

(2)
若 $p|(x+3)$，則 $x+3=pk$，$\begin{align}x-8=\frac{3p+1}{k}\end{align}$
$x=pk-3$ 代入 $\begin{align}pk-11=\frac{3p+1}{k}\Rightarrow p=\frac{11k+1}{k^2-3}\end{align}$
$(k^2-3)|(11k+1)$，$(k^2-3)|[(11k+1)\cdot k-11\cdot(k^2-3)]\Rightarrow (k^2-3)|(k+33)$
$\Rightarrow (k^2-3)|[11\cdot(k+33)-(11k+1)]\Rightarrow (k^2-3)|362$
$\Rightarrow k^2-3=\pm1, \pm2, \pm 181, \pm 362$
$\Rightarrow k^2=1$ 或 $k^2=4$
$\Rightarrow k=-1$ 或 $k=2$
$\Rightarrow p=5$ 或 $p=23$
$\Rightarrow x=-8$ 或 $x=43$