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title: 挑戰題 11.
tags: [多項式]

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###### tags: `多項式`

# 挑戰題 11.
設 $a_1，a_2，a_3，\cdots，a_6，b_1，b_2，b_3，\cdots，b_6$ 為兩兩互不相同的 $12$ 個實數，今將他們依以下規定填入 $6\times 6$ 的方格表中：在第 $i$ 列，第 $j$ 行中填入 $a_i+b_j$ 之值的數。已知每一列數的乘積均為 $1$，試問 第 $4$ 行的 $6$ 個數乘積為
$\underline{\qquad\qquad}$

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$\boxed{答}：-1$
$\boxed{解}：$
由已知，

$\begin{array}aa_1+b_1 & a_1+b_2 & a_1+b_3 & a_1+b_4 & a_1+b_5 & a_1+b_6 \\
a_2+b_1 & a_2+b_2 & a_2+b_3 & a_2+b_4 & a_2+b_5 & a_2+b_6 \\
a_3+b_1 & a_3+b_2 & a_3+b_3 & a_3+b_4 & a_3+b_5 & a_3+b_6 \\
a_4+b_1 & a_4+b_2 & a_4+b_3 & a_4+b_4 & a_4+b_5 & a_4+b_6 \\
a_5+b_1 & a_5+b_2 & a_5+b_3 & a_5+b_4 & a_5+b_5 & a_5+b_6 \\
a_6+b_1 & a_6+b_2 & a_6+b_3 & a_6+b_4 & a_6+b_5 & a_6+b_6 \\\end{array}$

$(a_k+b_1)(a_k+b_2)\cdot(a_k+b_6)=1$，$k=1,2,\cdots,6$ 均成立，
因此 $a_1,a_2,\cdots,a_6$ 為多項式 $f(x)=(x+b_1)(x+b_2)\cdot(x+b_6)-1$ 的 $6$ 個相異實根，
故 $f(x)=(x+b_1)(x+b_2)\cdots(x+b_6)-1=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_6)$
而所求的第 $4$ 行的乘積即為 
$f(-b_4)=-1=(-b_4-a_1)(-b_4-a_2)\cdots(-b_4-a_6)$
$\Rightarrow (a_1+b_4)(a_2+b_4)\cdots(a_6+b_4)=-1$

:::warning
若是用到這類的性質
例如：$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$
當我們欲求 $(k-a)(k-b)(k-c)$ 時即為 $f(k)$
而我們欲求 $(k+a)(k+b)(k+c)$ 時即先求$f(-k)=(-k-a)(-k-b)(-k-c)$
$f(-k)=-(k+a)(k+b)(k+c)$
$\Rightarrow(k+a)(k+b)(k+c)=-f(-k)$
注意個數是奇數或偶數造成的正負差異
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