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title: 挑戰題 1.
tags: [多項式]

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###### tags: `多項式`

# 挑戰題 1. 
已知多項式 $f(x)$ 被 $(x-1)^2$ 除之餘式為 $x+1$，$f(x)$ 被 $(x+1)^2$ 除之餘式為 $2x-1$，求 $f(x)$ 被 $(x+1)^2(x-1)$ 除之餘式為 $\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：\begin{align}\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x-\frac{3}{4}\end{align}$
$\boxed{解}：$由除法原理，
設 $f(x)=(x+1)^2(x-1)Q(x)+a(x+1)^2+2x-1$
代 $x=1$，則 $4a+1=2\Rightarrow a=\begin{align}\frac{1}{4}\end{align}$
因此餘式為 
$\begin{align}\frac{1}{4}(x+1)^2+2x-1\end{align}$
$\begin{align}=\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x-\frac{3}{4}\end{align}$

