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title: 挑戰題 8.
tags: [直線與圓]

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###### tags: `直線與圓`

# 挑戰題 8. 
已知 $\Delta ABC$ 中，點 $B(3,4)$，$\overline{AB}$ 邊上的高所在直線的方程式是 $2x+3y-16=0$，$\overline{BC}$ 邊上中線所在直線的方程式是 $2x-3y+1=0$，試求$\overline{AC}$ 所在的直線方程式為 $\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：x+4y+3=0$
$\boxed{解}：$作一個簡圖
![挑戰題8.簡圖](https://i.imgur.com/iaCx5gI.png =350x)
$A$ 點在 $2x-3y+1=0$ 上，
設 $\begin{align}A(\frac{3t-1}{2},t)\end{align}$
$\begin{align}m_{AB}=\frac{t-4}{\frac{3t-1}{2}-3}=\frac{3}{2}\Rightarrow t=1\Rightarrow A(1,1)\end{align}$
$C$ 點在 $2x+3y-16=0$ 上，
設 $C(-3k+8,2k)$
$D$ 為 $\overline{BC}$ 中點，$\begin{align}D(\frac{-3k+11}{2},k+2)\end{align}$
而 $D$ 在 $2x-3y+1=0$ 上，
$\begin{align}2\cdot\frac{-3k+11}{2}-3\cdot(k+2)+1=0\Rightarrow k=1\Rightarrow C(5,2)\end{align}$
因此 $\overline{AC}$ 所在的直線方程式為 $x-4y+3=0$

