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title: 挑戰題 10.
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###### tags: `多項式`

# 挑戰題 10. 
已知 $k\in\mathbb{R}$，$x^2+(k-5)x+(k+3)=0$ 的兩根均小於 $-2$，求 $k$ 值範圍 $\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：13\leq k<17$
$\boxed{解}：$
設方程式的兩根為 $\alpha，\beta$，
因為兩根均小於 $-2$，
因此 $\alpha+2<0$、$\beta+2<0$
則由根與係數關係，
兩根和 $\alpha+\beta=5-k$，$\alpha\beta=k+3$
由於兩根均小於 $-2$

$\left\{\begin{align}判別式 \geq 0\\
(\alpha+2)+(\beta+2)<0
\\(\alpha+2)(\beta+2)> 0\end{align}\right.$ $\Rightarrow\left\{\begin{align}(k-5)^2-4(k+3)\geq 0\\
5-k+4<0\\
k+3+2(5-k)+4>0\end{align}\right.$
$\Rightarrow\left\{\begin{align}k^2-14k+13\geq 0\\k>9\\k<17\end{align}\right.$
$\Rightarrow\left\{\begin{align}k\leq1 \;or\;k\geq 13\\9<k<17\end{align}\right.$
$\Rightarrow13\leq k<17$