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# 挑戰題 4.
已知 $a\in\mathbb{Z}$，若 $x^{13}+x+90$ 可被 $x^2-x+a$ 整除，試求所有可能的 $a$ 值$\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：2$
$\boxed{解}：$ 由除法原理，
$x^{13}+x+90=(x^2-x+a)Q(x)$
$x=1$ 代入，$92=aQ(1)\Rightarrow a$ 為 $92$ 的因數；
$x=0$ 代入，$90=aQ(0)\Rightarrow a$ 為 $90$ 的因數；
$x=-1$ 代入，$88=(a+2)Q(-1)\Rightarrow (a+2)$ 為 $88$ 的因數，
綜合以上的條件，$a=-1$ 或 $a=2$；
若 $a=-1$，則 $x^{13}+x+90=(x^2-x-1)Q(x)$
但 $x^2-x-1=0\Rightarrow x=\begin{align}\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{align}$
可以看出 $x^2-x-1$ 在 $x\in(-1,0)$ 至少有一實根，但 $x^{13}+x+90$ 在區間 $(-1,0)$ 中沒有實根，因此 $a=2$。

:::warning
$a\in\mathbb{Z}$ 利用整數的特性，
因數、倍數加以討論
是本題解題的關鍵。
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