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# 多項式

## 挑戰題 1.
已知多項式 $f(x)$ 被 $(x-1)^2$ 除之餘式為 $x+1$，$f(x)$ 被 $(x+1)^2$ 除之餘式為 $2x-1$，求 $f(x)$ 被 $(x+1)^2(x-1)$ 除之餘式為 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 2.
若 $x^{2023}-1$ 除以 $(x^2+1)(x^2+x+1)$ 的餘式為 $ax^3+bx^2+cx+d$，試求有序數對 $(a,b,c,d)=\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 3.
設 $f(x)$ 為 $2022$ 次多項式，且對於 $k=0,1,2,\cdots,2022$，滿足 $\begin{align}f(k)=\frac{k}{k+1}\end{align}$，試求 $f(2023)=\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 4.
已知 $a\in\mathbb{Z}$，若 $x^{13}+x+90$ 可被 $x^2-x+a$ 整除，試求所有可能的 $a$ 值$\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 5.
$n\in\mathbb{N}$，若 $f(x)=x^n(x^2+ax+b)$ 被 $(x-2)^2$ 除之餘式為 $2^n(x-2)$，則數對 $(a,b)=$ $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 6.
設 $f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$，試求 $f(x^5)$ 除以 $f(x)$ 的餘式 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 7.
$a，b，c$ 為相異實數，且 $\begin{align}f(x)=\frac{a(x+a)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b(x+b)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c(x+c)^2}{(c-a)(c-b)}\end{align}$，試求 $\begin{align}f(-\frac{a+b+c}{2})\end{align}$$=\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 8.
設 $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$，$a，b，c，d\in\mathbb{Z}$，己知 $f(2)=20，f(3)=30，f(1)=10$，則 $f(10)+f(-6)=\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 9.
已知 $m,k\in\mathbb{Q}$，對於任意的有理數 $m$，方程式 $x^2-3(m-1)x+2m^2+3k=0$ 恆有有理根，試求 $k$ 之值 $=\underline{\qquad\qquad}$

## 挑戰題 10.
已知 $k\in\mathbb{R}$，$x^2+(k-5)x+(k+3)=0$ 的兩根均小於 $-2$，求 $k$ 值範圍 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 挑戰題 11.
設 $a_1，a_2，a_3，\cdots，a_6，b_1，b_2，b_3，\cdots，b_6$ 為兩兩互不相同的 $12$ 個實數，今將他們依以下規定填入 $6\times 6$ 的方格表中：在第 $i$ 列，第 $j$ 行中填入 $a_i+b_j$ 之值的數。已知每一列數的乘積均為 $1$，試問 第 $4$ 行的 $6$ 個數乘積為
$\underline{\qquad\qquad}$

## 挑戰題 12.
設 $x^3-7x-6=0$ 的三根為 $\alpha，\beta，\gamma$，則
1. 以$\begin{align}\frac{1}{\alpha}，\frac{1}{\beta}，\frac{1}{\gamma}\end{align}$ 為三根的方程式為$\underline{\qquad\qquad}$
1. 以 $\alpha^2，\beta^2，\gamma^2$ 為三根的方程式為 $\underline{\qquad\qquad}$
1. 以 $\alpha^3，\beta^3，\gamma^3$ 為三根的方程式為 $\underline{\qquad\qquad}$。

## 證明題 1.

設 $f(x)$ 為整係數多項式，且 $f(0)、f(1)$ 均為奇數，求證 $f(x)=0$ 沒有整數根。

## 證明題 2.
1. 設 $f(x)$ 為整係數多項式，$a，b\in\mathbb{Z}$，且 $a\neq b$，求證 $(a-b)$ 整除 $(f(a)-f(b))$；

1. 設 $f(x)$ 為一個整係數 $n$ 次多項式，不存在三個不同的整數 $a，b，c$，使得 $f(a)=b，f(b)=c，f(c)=a$；

1. 若整係數多項式 $f(x)$ 滿足 $f(7)=77，f(a)=85，f(b)=0$，其中 $a，b$ 為正整數，$7<a<b$，試求有序數對 $(a,b)=\underline{\qquad\qquad}$

## 證明題 3.
假設 $a，b，c$ 為實數，其中 $abc\neq 0$，$b\neq c$，$a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0$ 有兩個相等實根，試求 $a，b，c$ 滿足什麼關係式？

## 證明題 4.
已知 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 有三個實根，
1. 求證 $a^2-3b\geq 0$；
2. 求證 $\sqrt{a^2-3b}\leq$ 最大根 $-$ 最小根 $\begin{align}\leq\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2-3b}\end{align}$。

## 證明題 5.
1. 證明 $f(x)=x^6-x^5+1$ 沒有實根；
2. 證明 $g(x)=x^8-x^5+x^2+x+1$ 沒有實根。