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title: 挑戰題 11.
tags: [直線與圓]

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###### tags: `直線與圓`

# 挑戰題 11.
圓 $C:(x-4)^2+(y-3)^2=1$，直線 $L:y=\sqrt{3}x$，在圓 $C$ 上取一點 $P$，直線 $L$ 上取一點 $Q$，$x$ 軸上取一點 $R$，試求 $\Delta PQR$ 的最小周長為
$\underline{\qquad\qquad}$

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$\boxed{答}：4\sqrt{3}$
$\boxed{解}：$作一個簡圖
![挑戰題11.簡圖](https://i.imgur.com/eI9uK13.png =400x)
$L$ 的斜率 $\sqrt{3}\Rightarrow$ 斜角為 $60^\circ$，
圓上點 $P$，關於 $x$ 軸作對稱，得點 $P_1$、關於 $L$ 作對稱，得點 $P_2$，
則 $\overline{P_1P_2}$ 與 $L$ 交於 $Q$ 點、與 $x$ 軸交於 $R$ 點，
因為 $\overline{PQ}=\overline{P_2Q}$，$\overline{PR}=\overline{P_1R}$，
因此 $\overline{P_1P_2}$ 即為 $\Delta PQR$ 的最小周長。
因為 $\overline{OP}=\overline{OP_1}=\overline{OP_2}\geq5-1=4$
$\angle P_2OP_1=120^\circ$
由餘弦定理，可知 $\overline{P_1P_2}\geq 4\sqrt{3}$