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title: 證明題 5.
tags: [多項式]

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###### tags: `多項式`

# 證明題 5.
1. 證明 $f(x)=x^6-x^5+1$ 沒有實根；
2. 證明 $g(x)=x^8-x^5+x^2+x+1$ 沒有實根。

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$\boxed{證}：$
1. $f(x)=x^5(x-1)+1$，
(1) 若 $x\leq 0$，則 $f(x)>0$
(2) 若 $x\geq 1$，則 $f(x)>0$
(3) 若 $0<x<1$，則 $0<x^5<1$，$-1<x-1<0\Rightarrow-1<x^5(x-1)<0$
$\Rightarrow f(x)>0$，故得證。
:::info
由這個證明的結果，也可以得到 $f(x)$ 恆正。
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2. $g(x)=x^5(x^3-1)+(x^2+x+1)$
$=x^5(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)$
$=(x^2+x+1)(x^5(x-1)+1)$
由 1. 可知 $x^5(x-1)+1>0$，且$x^2+x+1>0$，因此 $g(x)>0$ 恆成立。
故得證。

:::warning
欲證明某多項式沒有實根，即證明其恆正或恆負，因為多項式是處處連續的，所以不可能在某些範圍內正，某些範圍內負，卻沒有實根。
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