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title: 證明題 2.
tags: [多項式]

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###### tags: `多項式`

# 證明題 2. 
1. 設 $f(x)$ 為整係數多項式，$a，b\in\mathbb{Z}$，且 $a\neq b$，求證 $(a-b)$ 整除 $(f(a)-f(b))$；

1. 設 $f(x)$ 為一個整係數 $n$ 次多項式，不存在三個不同的整數 $a，b，c$，使得 $f(a)=b，f(b)=c，f(c)=a$；

1. 若整係數多項式 $f(x)$ 滿足 $f(7)=77，f(a)=85，f(b)=0$，其中 $a，b$ 為正整數，$7<a<b$，試求有序數對 $(a,b)=\underline{\qquad\qquad}$

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$\boxed{答}：$ 3. $(a,b)=(9,14)$
$\boxed{證}：$
1. 由餘式定理 $f(x)$ 除以 $x-b$ 的餘式為 $f(b)$，因此由除法原理，
設 $f(x)=(x-b)Q(x)+f(b)$
令 $x=a$ 代入 $f(a)=(x-b)Q(a)+f(b)$
$\Rightarrow f(a)-f(b)=(a-b)Q(a)$
因此 $(a-b)$ 整除 $f(a)-f(b)$；

1. 假設存在三個不同的整數 $a，b，c$，
使得 $f(a)=b，f(b)=c，f(c)=a$，
不失一般性之下，假設 $a>b>c$，
由 1. 的結果，
$(a-c)$ 整除 $(f(a)-f(c))\Rightarrow (a-c)$ 整除 $(b-a)$
但是 $(a-c)>(a-b)$
所以 $(a-c)$ 不可能整除 $(b-a)$
因此矛盾。

1. 由 1. 的結果，
$(a-7)$ 整除 $(f(a)-f(7))=(85-77)=8$
$\Rightarrow a-7=1,2,4,8\Rightarrow a=8,9,11,15$；
$(b-7)$ 整除 $(f(b)-f(7))=0-77=-77$
$\Rightarrow b-7=1,7,11,77\Rightarrow b=8,14,18,84$；
$(b-a)$ 整除 $f(b)-f(a)=0-85=-85$
$\Rightarrow b-a=1,5,17,85$
綜合以上條件，
$a=9$，$b=14$

:::warning
最後一步的檢查，
可以由 $b-a=1,5,17,85$
$\Rightarrow b=a+1,a+5,a+17,a+85$
所以 $b$ 的所有可能值有
$b=a+1\Rightarrow 9,10,12,16$
$b=a+5\Rightarrow 13,14,16,20$
$b=a+17\Rightarrow 25,26,28,32$
$b=a+85\Rightarrow 93,94,96,100$
因此只有 $b=14$ 符合，此時 $b=a+5\Rightarrow a=9$
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