###### tags: `直線與圓`

# 證明題 1.

已知 $\overline{AB}$ 為圓 $C_1$ 的直徑，半徑為 $r$ 的圓 $C_2$ 與 $C_1$ 內切且與 $\overline{AB}$ 切於 $D$ 點，試證明 $\begin{align}\frac{1}{r}=\frac{1}{\overline{AD}}+\frac{1}{\overline{DB}}\end{align}$

---
$\boxed{證}：$作一個簡圖

設 $\overline{AB}=2R$，
$\overline{CD}=\sqrt{(R-r)^2-r^2}=\sqrt{R^2-2Rr}$
$\begin{align}\frac{1}{\overline{AD}}+\frac{1}{\overline{DB}}=\frac{1}{\overline{CA}-\overline{CD}}+\frac{1}{\overline{CB}+\overline{CD}}\\
=\frac{1}{R-\sqrt{R^2-2Rr}}+\frac{1}{R+\sqrt{R^2-2Rr}}\\=\frac{R+\sqrt{R^2-2Rr}+R-\sqrt{R^2-2Rr}}{(R-\sqrt{R^2-2Rr})(R+\sqrt{R^2+2Rr})}\end{align}$
$\begin{align}=\frac{2R}{R^2-(R^2-2Rr)}=\frac{2R}{2Rr}=\frac{1}{r}\end{align}$