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title: 挑戰題 1.
tags: [直線與圓]

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###### tags: `直線與圓`

# 挑戰題 1. 
假設過 $P(3,2)$ 作直線與 $x$ 軸正向和 $y$ 軸正向分別交於 $A$，$B$ 兩點，試求使 $\overline{PA}\cdot\overline{PB}$ 發生最小值的直線方程式 $\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：x+y-5=0$
$\boxed{解}：$設通過 $P(3,2)$ 的直線與 $x$ 軸正向和 $y$ 軸正向分別交於 $A(a,0)$，$B(0,b)$ 兩點
此直線方程式為$\begin{align}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\Rightarrow \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1\Rightarrow 3b+2a=ab\end{align}$

$\begin{align}\overline{PA}\cdot\overline{PB} &= \sqrt{\left[(a-3)^2+2^2\right]\left[3^2+(b-2)^2\right]}\\
&=\sqrt{\left[(a-3)^2+2^2\right]\left[(b-2)^2+3^2\right]}\end{align}$

由柯西不等式，

$\begin{align}\left[(a-3)^2+2^2\right]\left[(b-2)^2+3^2\right] &\geq\left[(a-3)(b-2)+2\cdot 3\right]^2\\
&=\left[ab-2a-3b+6+6\right]^2\\
&= 12^2\end{align}$

代回原式得知，$\begin{align}\overline{PA}\cdot\overline{PB}\geq 12\end{align}$

此時柯西不等式等號成立，因此

$\begin{align}\frac{a-3}{b-2}=\frac{2}{3}\Rightarrow 3a-9=2b-4\Rightarrow a=\frac{2b+5}{3}\end{align}$ 代入 $\begin{align}\frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1\end{align}$

$\begin{align}\Rightarrow \frac{9}{2b+5}+\frac{2}{b}=1\Rightarrow 9b+4b+10=2b^2+5b\Rightarrow 2b^2-8b-10=0\end{align}$

$(b-5)(b+1)=0\Rightarrow b=5$，$b=-1$（不合）$\Rightarrow a=5$

因此方程式為 $x+y-5=0$
$\begin{align}\end{align}$