###### tags: `數與式`
# 證明題 4.

東中高三共 $14$ 個班級舉行畢業籃球賽，每個班級均要與其他 $13$ 個班級進行一場比賽。已知籃球賽沒有和局，若用 $a_i$ 與 $b_i$ 分別表示該班級在整個比賽過程中的勝場與敗場，試證明：$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{14}^2=b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{14}^2$。

---
$\boxed{證}：$
$a_i+b_i=13$ （每班比 $13$ 場），$i=1,2,\cdots,14$
且 $a_1+a_2+\cdots+a_{14}=b_1+b_2+\cdots+b_{14}$（勝場數的和=敗場數的和）

$\begin{array}1\qquad a_1^2-b_1^2 &=& 13(a_1-b_1)\\
\qquad a_2^2-b_2^2 &=& 13(a_2-b_2)\\
&\vdots&\\
+)\quad a_{14}^2-b_{14}^2 &=& 13(a_{14}-b_{14})\end{array}$

$(a_1^2-b_1^2)+(a_2^2-b_2^2)+\cdots+(a_{14}^2-b_{14}^2)=0$

$\Rightarrow a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{14}^2=b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{14}^2$