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# 挑戰題 10.

已知 $n$ 是自然數，若 $\begin{align}\frac{n}{71}=0.\overline{a_1a_2a_3a_449a_7a_8\cdots a_{35}}\end{align}$，試求 $n$ 值為 $\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：42$
$\boxed{解}：\begin{align}\frac{n}{71}=0.\overline{a_1a_2a_3a_449a_7a_8\cdots a_{35}}\end{align}$

兩邊同乘 $10^4$，將小數點向後移四位

$\begin{align}10^4\times\frac{n}{71}=a_1a_2a_3a_4.\overline{49a_7a_8\cdots a_{35}a_1a_2a_3a_4}\end{align}$

考慮 $10^4=71\times 140+60$

所以 $\begin{align}\frac{10^4n}{71}=\frac{(71\times 140+60)n}{71}=140n+\frac{60n}{71}\end{align}$

$n\geq 7$ 才有可能是四位數，

因此 $\begin{align}\frac{60n}{71}\end{align}$ 的小數部份是 $0.49\cdots$，整數部份設為 $k$

$\begin{align}\frac{60n}{71}=k+0.49\cdots\end{align}$

$\Rightarrow 60n=71k+71\times 0.49\cdots$
又因為 $71\times 0.49=34.79$
因此 $60n=71k+35$，
可以看出 $k$ 必為奇數，且為 $5$ 的倍數，且 $k$ 除以 $3$ 餘 $2$ 時，$n$ 才能有整數解；
取 $k=5$，則不合；
取 $k=35$，則 $n=42$。