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title: 挑戰題 9.
tags: [直線與圓]

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###### tags: `直線與圓`

# 挑戰題 9. 
過點 $P(1,2)$ 且與兩軸在第一象限內所圍成的 $\Delta$ 有最小面積 $m$ 時之直線，其方程式為 $\underline{\qquad\qquad}$，求 $m=\underline{\qquad\qquad}$

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$\boxed{答}：2x+y-4=0，4$
$\boxed{解}：$設 $x$ 截距為 $a$，$y$ 截距為 $b$，$a>0$，$b>0$，
過 $P(1,2)$ 的直線截距式為 $\begin{align}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\end{align}$
因此 $\begin{align}\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1\end{align}$
由算幾不等式，
$\begin{align}\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{2}{b}}\Rightarrow\frac{1}{4}\geq\frac{2}{ab}\Rightarrow\frac{ab}{2}\geq4\end{align}$

因此當 $\begin{align}\frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=2，b=4\end{align}$
$\begin{align}\Delta=\frac{1}{2}ab\geq4\end{align}$
此時直線方程式為 $2x+y-4=0$