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title: 挑戰題 1.
tags: [數與式]

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###### tags: `數與式`
# 挑戰題 1. 

已知 $x,y$ 為實數，且 $x\neq y$，試化簡
$\sqrt{2\sqrt{xy}-x-y}=\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：\sqrt{-x}+\sqrt{-y}$
$\boxed{解}：$ 由 $\sqrt{xy}$ 可知 $xy>0$
則 $x>0, y>0$ 或 $x<0, y<0$

若$x>0,y>0$，則 
$\sqrt{2\sqrt{xy}-x-y}$
$=\sqrt{-(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2-2\sqrt{xy})}$
$=\sqrt{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}$
因此 $\sqrt{x}-\sqrt{y}=0\Rightarrow x=y$ 不合；

若$x<0,y<0$，則 $-x>0, -y>0$
$\sqrt{2\sqrt{xy}-x-y}$
$=\sqrt{\sqrt{-x}^2+\sqrt{-y}^2+2\sqrt{(-x)\cdot(-y)}}$
$=\sqrt{(\sqrt{-x}+\sqrt{-y})^2}$
$=\sqrt{-x}+\sqrt{-y}$
即為所求。



