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title: 111年雄中科學班入學試題

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# 111年雄中科學班入學試題

1. 計算證明二：$x，y，z$ 為正整數，求 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{7}{8}$ 的所有解

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假設 $x\leq y\leq z$，則 $\frac{1}{z}\leq\frac{1}{y}\leq\frac{1}{x}$

$\Rightarrow \frac{3}{x}\geq\frac{7}{8}\Rightarrow x\leq\frac{24}{7}\Rightarrow x=2$ 或 $3$

(1) $x=2$ 時，

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{8}\Rightarrow 8z+8y=3yz\Rightarrow y(3z-8)-\frac{8}{3}(3z-8)=\frac{64}{3}$

$\Rightarrow (3z-8)(3y-8)=64\Rightarrow (y,z)=(3,24)$，$(4,8)$

(2) $x=3$ 時，

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{13}{24}\Rightarrow 24z+24y=13yz\Rightarrow y(13z-24)-\frac{24}{13}(13z-24)=\frac{576}{13}$

$\Rightarrow (13z-24)(13y-24)=576\Rightarrow (y,z)=(2,24)$ 不合；

綜合(1)(2)：
$(x,y,z)=(2,3,24)，(2,4,8)$ 以及他們的排列，共12組解。

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2. 
$$\frac{2^{2022}-2^{2020}}{2^{2022}+2^{2021}}+\frac{2^{4044}-2^{4040}}{2^{4044}+2^{4042}}+\frac{2^{6066}-2^{6060}}{2^{6066}+2^{6063}}+\frac{2^{8088}-2^{8080}}{2^{8088}+2^{8084}}=？$$

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$$\frac{4-1}{4+2}+\frac{16-1}{16+4}+\frac{64-1}{64+8}+\frac{256-1}{256+16}=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{7}{8}+\frac{15}{16}=\frac{49}{16}$$

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3.
$$1^2+3，2^2+4，3^2+5，4^2+6，...，2022^2+2024$$ 
有多少個數為4的倍數

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$k^2+k+2=k(k+1)+2$ 中，$k(k+1)$ 必為偶數，
因此 $k(k+1)+2$ 必為偶數
若 $k$ 或 $k+1$ 不為4的倍數時，
$k(k+1)+2$ 即為4的倍數。
共有 $1010+2=1012$ 個

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4. $f(x)=x^2-6|x|$，求 $f(f(x))=0$ 的所有實數解。
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$f(f(x))=(x^2-6|x|)^2-6|x^2-6|x||=0$

$|x^2-6|x||\cdot||x^2-6|x||-6|=0$

(1) $x^2-6|x|=0 \Rightarrow|x|(|x|-6)=0\Rightarrow x=0，\pm6$

(2) $|x^2-6|x||-6=0\Rightarrow x^2-6|x|=\pm6$

$\Rightarrow x=3\pm\sqrt{3}$，$3+\sqrt{15}$，$-3\pm\sqrt{3}，-3-\sqrt{15}$

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5. $a,b$ 為自然數且互質，$ab=20!$，試求 $(a,b)$ 有多少組？
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$20!=2^{18}\cdot 3^8\cdot 5^4\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19$

所求即為 $2^8=256$

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6.

















