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title: 挑戰題 4.
tags: [直線與圓]

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###### tags: `直線與圓`

# 挑戰題 4. 
假設過 $P(4,2)$ 作直線 $L_1$、$L_2$與 $x$ 軸正向和 $y$ 軸正向分別交於 $A(a,0)$，$B(0,b)$ 兩點，且 $a$，$b$ 為整數，若 $O$ 為原點，且直線 $AB$ 平分四邊形 $OAPB$ 的面積，試求直線 $AB$ 的方程式$\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：x+y-3=0、x+2y-4=0$
$\boxed{解}：$描點作一個簡圖，
四邊形 $OAPB$ 的面積 $=2\times\Delta OAB$ 的面積  
$\begin{align}\frac{1}{2}| \left|\begin{array} 00 & a & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & b & 0\end{array}\right| |=2\times\frac{1}{2}ab\Rightarrow a+2b=ab\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{2}{a}=1\end{align}$

![挑戰題4.簡圖](https://i.imgur.com/dWLegIk.png)

若是 $L_1$ 與 $L_2$ 如最左圖所示時，$a>4，b>2\Rightarrow\begin{align}\frac{1}{b}+\frac{2}{a}<\frac{1}{2}+\frac{2}{4}<1\end{align}$ 不合。
因此圖形為情形一與情形二所示。
由 $a+2b=ab\Rightarrow ab-a-2b=0\Rightarrow a(b-1)-2(b$ <font color="#f00">$-1$</font> )=<font color="#f00">$2$</font>
$\Rightarrow (b-1)(a-2)=2$
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|$b-1$| $2$ | $1$ |
|$a-2$| $1$ | $2$ |

得到 $(a,b)=(3,3)$ 或 $(4,2)$
因此直線 $AB$ 的方程式為 $\begin{align}\frac{x}{3}+\frac{y}{3}=1、\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1\end{align}\Rightarrow x+y-3=0、x+2y-4=0$