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# 挑戰題 7.
$a，b，c$ 為相異實數，且 $\begin{align}f(x)=\frac{a(x+a)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b(x+b)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c(x+c)^2}{(c-a)(c-b)}\end{align}$，試求 $\begin{align}f(-\frac{a+b+c}{2})\end{align}$$=\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：0$
$\boxed{解}：$
$\begin{align}f(-a) &=\frac{b(b-a)^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c(c-a)^2}{(c-a)(c-b)}\\
&=\frac{b^2-ab}{b-c}+\frac{c^2-ac}{c-b}\\
&=\frac{b^2-ab-c^2+ac}{b-c}\\
&=\frac{(b-c)(b+c)-a(b-c)}{b-c}\\
&=b+c-a\\
&=(a+b+c)-2a\end{align}$
同理，$f(-b)=(a+b+c)-2b$，$f(-c)=(a+b+c)-2c$
因此由多項式恆等定理 $f(x)=(a+b+c)+2x$
$\begin{align}f(-\frac{a+b+c}{2})=0\end{align}$

:::warning
多項式恆等定理：
若 $f(x)、g(x)$ 為 $n$ 次多項式，
且有 $n+1$ 個不同的數 $a_1，a_2，\cdots，a_{n+1}$ 使得
$f(a_1)=g(a_1)，f(a_2)=g(a_2)，\cdots f(a_{n+1})=g(a_{n+1})$
則 $f(x)=g(x)$。

以本題為例，
本題的 $f(x)$ 是一個 $2$ 次多項式，
$g(x)=(a+b+c)+2x$ 是一個 $1$ 次多項式，
而 $f(-a)=g(-a)，f(-b)=g(-b)，f(-c)=g(-c)$
因此 $f(x)=g(x)$
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