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title: 挑戰題 9.
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###### tags: `數與式`

# 挑戰題 9. 
$n$ 為不大於 $2023$ 的正整數，且使 $\begin{align}\left|\frac{nx}{2023}-1\right|<\frac{n}{2023}\end{align}$，恰有兩個整數解，若滿足此條件的 $n$ 有 $m$ 個，試求 $m$ 之值為 $\underline{\qquad\qquad}$。

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$\boxed{答}：2017$
$\boxed{解}：\begin{align}\left|\frac{nx}{2023}-1\right|<\frac{n}{2023}\end{align}$

兩邊同乘 $\begin{align}\frac{2023}{n}\end{align}$

$\begin{align}\Rightarrow \left|x-\frac{2023}{n}\right|<1\end{align}$

$\begin{align}\Rightarrow -1<x-\frac{2023}{n}<1\end{align}$

$\begin{align}\Rightarrow -1+\frac{2023}{n}<x<1+\frac{2023}{n}\end{align}$

在這個範圍之中，只能恰兩個整數解，

因此 $\begin{align}\frac{2023}{n}\end{align}$ 不能為整數

（例如：$-1+20<x<1+20\Rightarrow19<x<21，x$ 只有 $1$ 個整數解。）

質因數分解 $2023=7\cdot 17^2$

因此要扣除 $2023$ 的正因數個數$(1+1)\times(2+1)=6$ 個

所求即為 $2023-6=2017$